Estudar a derivabilidade em R das seguintes funções :
llx^2 cos 1x & se x neq 0 0 & se x=0;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a derivabilidade em R da função
$$f(x)=\begin{cases}x^{2}\cos\frac{1}{x}&sex\neq0,\0&sex=0.
$$\nO conteúdo é derivação de função definida por partes, usando regra do produto, regra da cadeia e definição de derivada no ponto.

Passo 2

Para xneq0, a função é produto de funções elementares (polinômio e cosseno composto), logo é diferenciável. Aplicando regra do produto e cadeia, temos:
f'(x)=ddxl(x^2r)cos1x+x^2cdotddxl(cos1xr)
Calculando cada termo:
ddx(x^2)=2x, ddxl(costfrac1xr)=-sinl(tfrac1xr)cdotl(-tfrac1x^2r)=sin(1/x)x^2
Portanto,
f'(x)=2xcos1x+sin1x

Passo 3

Em x=0, usamos a definição de derivada:
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h=limhto0h^2cos(1/h)-0h=limhto0hcos1h=0
Esse limite existe porque hcos(1/h) fica preso em [-|h|,|h|] e tende a zero.

Passo 4

Concluímos que f é diferenciável em todo R.

Resposta

A função é diferenciável em todo R, com derivada
definida por
f'(x)=2xcostfrac1x+sintfrac1x,&xneq0,0,&x=0

Exercícios relacionados