Estudar a derivabilidade em
das seguintes funções :
;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a derivabilidade em
da função
$$f(x)=\begin{cases}x^{2}\cos\frac{1}{x}&sex\neq0,\0&sex=0.
$$\nO conteúdo é derivação de função definida por partes, usando regra do produto, regra da cadeia e definição de derivada no ponto.
Passo 2
Para
, a função é produto de funções elementares (polinômio e cosseno composto), logo é diferenciável. Aplicando regra do produto e cadeia, temos:
Calculando cada termo:
Portanto,
Passo 3
Em
, usamos a definição de derivada:
Esse limite existe porque
fica preso em
e tende a zero.
Passo 4
Concluímos que
é diferenciável em todo
.
Resposta
A função é diferenciável em todo
, com derivada
definida por
definida por