Estudar e desenhar a superfície log (z)=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para “estudar e desenhar” a superfície dada por
log(z) = x^2 + y^2
Estamos no contexto de superfícies em cálculo de várias variáveis. Para resolver, vamos identificar domínio e imagem, expressar z explicitamente, analisar simetrias, monotonicidade e curvas de nível, e por fim descrever o esboço da superfície.

Passo 2

Isolamos z aplicando exponencial dos dois lados da equação:
log(z)=x^2+y^2Longrightarrow z=e^,x^2+y^2
Como log(z) está definido apenas para z>0, mas a equação exige x^2+y^2>=0, segue que
log(z)=x^2+y^2>=0Longrightarrow z>=1
Logo o domínio em (x,y) é todo R^2 e a imagem da superfície é [1,infty).

Passo 3

A função z=e^,x^2+y^2 depende somente de r^2=x^2+y^2. Isso implica simetria radial em torno do eixo z. Em coordenadas polares (r,theta) temos
;z = e^,r^2, r>=0,;thetain[0,2pi)

Passo 4

Para verificar monotonicidade em r, calculamos
partial zpartial r =partialpartial re^,r^2 =2r,e^,r^2
Como e^,r^2>0 e r>=0, tem-se partial z/partial r>0 para r>0. Assim z cresce estritamente quando r aumenta, alcançando o valor mínimo
z(0,0)=e^0=1
no centro.

Passo 5

As curvas de nível são obtidas fixando z=c>=1:
e^,x^2+y^2=cLong<=ftrightarrow x^2+y^2=ln(c)
Para cada c>1 temos círculos de raio raizln(c). Não há nível para 0< c<1, pois ln(c)<0 não pode igualar x^2+y^2>=0.

Passo 6

Analisando limites:
quando rtoinfty, z=e^r^2toinfty, ou seja, a superfície “sobe” muito rápido para fora;
quando rto0, zto1, formando uma crista mínima circular em z=1.

Passo 7

Esboço da superfície:
– No plano z=1 há um “fundo” circular que toca a superfície em (0,0,1).
– Para r>0, a superfície se eleva exponencialmente.
– Em perspectiva, parece uma “tigela” com bordas que crescem muito rápido.
– As curvas de nível vistas de cima são círculos concêntricos de raio raizln(z).

Resposta

A superfície é
z = e^,x^2+y^2, (x,y)inR^2,
com imagem z>=1, simetria radial, valor mínimo z(0,0)=1 e curvas de nível circulares de equação x^2+y^2=ln(c).

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