Estudar e desenhar a superfície
Passo 1
O enunciado pede para “estudar e desenhar” a superfície dada por
Estamos no contexto de superfícies em cálculo de várias variáveis. Para resolver, vamos identificar domínio e imagem, expressar
explicitamente, analisar simetrias, monotonicidade e curvas de nível, e por fim descrever o esboço da superfície.
Passo 2
Isolamos
aplicando exponencial dos dois lados da equação:
Como
está definido apenas para
, mas a equação exige
, segue que
Logo o domínio em
é todo
e a imagem da superfície é
.
Passo 3
A função
depende somente de
. Isso implica simetria radial em torno do eixo
. Em coordenadas polares
temos
Passo 4
Para verificar monotonicidade em
, calculamos
Como
e
, tem-se
para
. Assim
cresce estritamente quando
aumenta, alcançando o valor mínimo
no centro.
Passo 5
As curvas de nível são obtidas fixando
:
Para cada
temos círculos de raio
. Não há nível para
, pois
não pode igualar
.
Passo 6
Analisando limites:
quando ,
, ou seja, a superfície “sobe” muito rápido para fora;
quando ,
, formando uma crista mínima circular em
.
quando
quando
Passo 7
Esboço da superfície:
– No plano há um “fundo” circular que toca a superfície em
.
– Para , a superfície se eleva exponencialmente.
– Em perspectiva, parece uma “tigela” com bordas que crescem muito rápido.
– As curvas de nível vistas de cima são círculos concêntricos de raio .
– No plano
– Para
– Em perspectiva, parece uma “tigela” com bordas que crescem muito rápido.
– As curvas de nível vistas de cima são círculos concêntricos de raio
Resposta
A superfície é
com imagem
, simetria radial, valor mínimo
e curvas de nível circulares de equação
.