Estudar e desenhar a superfície z=2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar (ou seja, analisar as principais propriedades) e desenhar a superfície dada por
z = 2 - y^2
Isso faz parte do conteúdo de superfícies quadráticas em R^3. Vamos precisar identificar domínio, imagem, curvas de nível, seções planas e classificar o tipo de superfície.

Passo 2

Domínio e imagem: a função
f(x,y)=2-y^2
está definida para todo (x,y)inR^2, pois não há raiz ou divisão por zero. Logo o domínio é R^2. Como y^2>=0, temos
z = 2 - y^2 <= 2,
então a imagem de f é (-infty,,2].

Passo 3

Curvas de nível horizontais: para cada constante c, a curva de nível z=c satisfaz
c = 2 - y^2 Long<=ftrightarrow y^2 = 2-c
Se c<=2, então y=pmraiz2-c e x é livre. Portanto cada curva de nível é a união de duas retas paralelas ao eixo x, localizadas em y=+raiz2-c e y=-raiz2-c. Se c>2, não há curva de nível.

Passo 4

Seções verticais:
– Plano x=x0: insere-se x0 em f, mas f não depende de x. A interseção é a parábola
z = 2 - y^2
no plano (y,z), concavidade voltada para baixo e vértice em (y,z)=(0,2).
– Plano y=y0: insere-se y0 e obtemos
z = 2 - y0^2,
constante. A interseção é a reta paralela ao eixo x ao nível z=2-y0^2.

Passo 5

Classificação: por não depender de x e por aparecer y^2 com sinal negativo, trata-se de um cilindro parabólico (“parabolic cylinder”) cujas geratrizes são retas paralelas ao eixo x e cuja seção em cada plano x=x0 é a parábola invertida z=2-y^2.

Passo 6

Esboço: desenhe a parábola z=2-y^2 no plano (y,z) com vértice em (0,2) e abertura para baixo. Depois “puxe” essa parábola ao longo de todo o eixo x, gerando um cilindro parabólico. As curvas de nível para z=1,0,-1,dots são sempre duas retas em y=pm1,pmraiz2,dots.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico de equação
z = 2 - y^2,
com domínio R^2 em (x,y) e imagem z<=2. Cada seção x=constante é a parábola invertida z=2-y^2, e cada curva de nível z=c<=2 são duas retas paralelas ao eixo x em y=pmraiz2-c.

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