Estudar e desenhar a superfície
Passo 1
O enunciado pede para estudar (ou seja, analisar as principais propriedades) e desenhar a superfície dada por
Isso faz parte do conteúdo de superfícies quadráticas em
. Vamos precisar identificar domínio, imagem, curvas de nível, seções planas e classificar o tipo de superfície.
Passo 2
Domínio e imagem: a função
está definida para todo
, pois não há raiz ou divisão por zero. Logo o domínio é
. Como
, temos
então a imagem de
é
.
Passo 3
Curvas de nível horizontais: para cada constante
, a curva de nível
satisfaz
Se
, então
e
é livre. Portanto cada curva de nível é a união de duas retas paralelas ao eixo
, localizadas em
e
. Se
, não há curva de nível.
Passo 4
Seções verticais:
– Plano : insere-se
em
, mas
não depende de
. A interseção é a parábola
– Plano
no plano
, concavidade voltada para baixo e vértice em
.
– Plano : insere-se
e obtemos
– Plano
constante. A interseção é a reta paralela ao eixo
ao nível
.
Passo 5
Classificação: por não depender de
e por aparecer
com sinal negativo, trata-se de um cilindro parabólico (“parabolic cylinder”) cujas geratrizes são retas paralelas ao eixo
e cuja seção em cada plano
é a parábola invertida
.
Passo 6
Esboço: desenhe a parábola
no plano
com vértice em
e abertura para baixo. Depois “puxe” essa parábola ao longo de todo o eixo
, gerando um cilindro parabólico. As curvas de nível para
são sempre duas retas em
.
Resposta
A superfície é um cilindro parabólico de equação
com domínio
em
e imagem
. Cada seção
é a parábola invertida
, e cada curva de nível
são duas retas paralelas ao eixo
em
.