Estudar e desenhar a superfície x^2-2 y-4 z=0

Passo 1

O enunciado pede para estudar e desenhar a superfície de equação
x^2-2y-4z=0
Isso envolve identificar as interseções (traços) dessa superfície com planos coordenados e planos paralelos a eles, classificar o tipo de superfície (segundo grau) e, finalmente, esboçar a forma 3D.

Passo 2

Traços nas faces coordenadas:
— Plano y=0: a equação fica
x^2-4z=0 Longrightarrow z=x^24,
que é uma parábola no plano xz abrindo para cima.
— Plano z=0: a equação fica
x^2-2y=0 Longrightarrow y=x^22,
que é uma parábola no plano xy abrindo para cima.
— Plano x=0: a equação fica
-2y-4z=0 Longrightarrow z=-y2,
que é uma reta no plano yz.

Passo 3

Traços em planos paralelos:
— Plano y=k (constante):
x^2-2k-4z=0 Longrightarrow z=x^24-k2,
parábolas no plano xz, deslocadas verticalmente conforme k.
— Plano z=k:
x^2-2y-4k=0 Longrightarrow y=x^22-2k,
parábolas no plano xy, deslocadas em y.

Passo 4

Como só aparece termo quadrático em x e y,z são lineares, trata-se de um cilindro parabólico. A parábola diretora pode ser escolhida como
l(x,y,z)mid y=0,;z=x^2/4r,
e as geratrizes são retas paralelas à direção (0,2,-1), pois ao variar y em +2 temos z em -1 para manter a equação.

Passo 5

Esboço da superfície:
  1. Desenhe no plano xoz a parábola z=x^2/4.
  2. Para cada ponto dessa parábola, trace uma reta que obedeça z=-y/2+constante, ou seja, inclinada no plano yz com coeficiente angular -tfrac12.
  3. O conjunto dessas retas desloca a parábola ao longo desse “eixo” inclinado, formando o cilindro parabólico.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico de equação ,x^2-2y-4z=0, cuja diretora é a parábola ,z=x^2/4 no plano y=0 e cujas geratrizes são retas de direção (0,2,-1).

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