Estudar e desenhar a superfície raizx+raizz=2

Passo 1

O enunciado pede para estudar e desenhar a superfície em R^3 dada pela equação
raizx + raizz = 2
O conteúdo é estudo de superfícies definidas implicitamente e representação paramétrica. Vamos:
  1. determinar o domínio de (x,z),
  2. resolver para z em função de x,
  3. observar a dependência em y,
  4. dar uma parametrização,
  5. esboçar a forma da superfície.

Passo 2

Para que raizx e raizz sejam reais, precisamos de
x >= 0, z >= 0
Da equação raizx+raizz=2 segue raizx<=2, ou seja
0 <= x <= 4
Assim, sobre o plano xz, a curva geratriz vive em xin[0,4] com z determinado.

Passo 3

Isolando raizz temos
raizz ;=; 2 - raizx,
e elevando ao quadrado,
z ;=;(2 - raizx)^2
Desenvolvendo,
z = 4 - 4raizx + x,
para xin[0,4].

Passo 4

Repare que a equação não envolve y. Portanto, para cada ponto (x,z) da curva acima, y pode ser qualquer real. A superfície é um “cilindro” (não circular) obtido por extrusão dessa curva ao longo do eixo y.

Passo 5

Uma parametrização natural é usar
u = x, v = y,
com
0 <= u <= 4, -infty < v < infty,
e definir
r(u,v) = l(u,;v,;(2 - raizu)^2r)

Passo 6

Para esboçar:
  1. No plano xz, trace a curva que vai de (0,4) até (4,0) segundo z=(2-raizx)^2.
  2. Em seguida, imagine linhas retas paralelas ao eixo y passando por cada ponto dessa curva.
O resultado é uma superfície suave que, vista de lado (plano xz), é uma parábola invertida no trecho [0,4], e é infinita em y.

Resposta

A superfície é o cilindro sobre a curva geratriz
z = (2 - raizx)^2, 0 <= x <= 4,
estendido para todo yinR. Sua parametrização é
r(u,v) = l(u,;v,;(2 - raizu)^2r),
com 0 <= u <= 4 e -infty < v < infty. Desenha-se primeiro a curva em xz e depois extrai-se no eixo y.

Exercícios relacionados