Estudar e desenhar a superfície
Passo 1
O enunciado pede para estudar e desenhar a superfície em
dada pela equação
O conteúdo é estudo de superfícies definidas implicitamente e representação paramétrica. Vamos:
- determinar o domínio de
, - resolver para
em função de , - observar a dependência em
, - dar uma parametrização,
- esboçar a forma da superfície.
Passo 2
Para que
e
sejam reais, precisamos de
Da equação
segue
, ou seja
Assim, sobre o plano
, a curva geratriz vive em
com
determinado.
Passo 3
Isolando
temos
e elevando ao quadrado,
Desenvolvendo,
para
.
Passo 4
Repare que a equação não envolve
. Portanto, para cada ponto
da curva acima,
pode ser qualquer real. A superfície é um “cilindro” (não circular) obtido por extrusão dessa curva ao longo do eixo
.
Passo 5
Uma parametrização natural é usar
com
e definir
Passo 6
Para esboçar:
- No plano
, trace a curva que vai de até segundo . - Em seguida, imagine linhas retas paralelas ao eixo
passando por cada ponto dessa curva.
O resultado é uma superfície suave que, vista de lado (plano
), é uma parábola invertida no trecho
, e é infinita em
.
Resposta
A superfície é o cilindro sobre a curva geratriz
estendido para todo
. Sua parametrização é
com
e
. Desenha-se primeiro a curva em
e depois extrai-se no eixo
.