Supõe-se que determinado tipo de indústria deva ter, em média, 30 empregados. Para testar tal hipótese colhe-se uma amostra de 50 indústrias, cujo resultado esta na tabela. Caso rejeite a hipótese, dê um intervalo de confiança para a verdadeira média (suponha que S^2=sigma^2).
No de empregados Frequência
[25 ; 35[ 8
[35 ; 45[ 10
[45 ; 55[ 13
[55 ; 65[ 10
[65 ; 75[ 9

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente quer testar se, em média, uma certa indústria tem 30 empregados. Para isso, temos uma amostra de 50 indústrias com a distribuição de empregados nas faixas que a tabela mostra. Vamos usar conceitos de estatística inferencial, mais especificamente testes de hipóteses para a média. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média amostral, o desvio padrão e usar a distribuição normal para o teste.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral. Para isso, precisamos encontrar o ponto médio de cada intervalo de empregados e multiplicar pela frequência correspondente, somando tudo e dividindo pelo total de indústrias.
Vamos calcular os pontos médios:
  • [25 ; 35[ → (25 + 35) / 2 = 30
  • [35 ; 45[ → (35 + 45) / 2 = 40
  • [45 ; 55[ → (45 + 55) / 2 = 50
  • [55 ; 65[ → (55 + 65) / 2 = 60
  • [65 ; 75[ → (65 + 75) / 2 = 70
Agora, multiplicamos cada ponto médio pela frequência:
  • 30 * 8 = 240
  • 40 * 10 = 400
  • 50 * 13 = 650
  • 60 * 10 = 600
  • 70 * 9 = 630
Somando tudo: 240 + 400 + 650 + 600 + 630 = 2520
A média amostral (𝑥̄) é a soma dividida pelo total de indústrias (50):
barx = 252050 = 50,4

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral. Primeiro, precisamos encontrar a variância.
Para isso, usamos a fórmula:
S^2 = sum fi (xi - barx)^2n - 1
Onde:
  • $ f_i $ é a frequência de cada classe
  • $ x_i $ é o ponto médio de cada classe
  • $ \bar{x} $ é a média amostral
  • $ n $ é o total de observações
Vamos calcular cada termo $ (x_i - \bar{x})^2 $:
  • Para 30: $ (30 - 50,4)^2 = 420,25 $
  • Para 40: $ (40 - 50,4)^2 = 108,16 $
  • Para 50: $ (50 - 50,4)^2 = 0,16 $
  • Para 60: $ (60 - 50,4)^2 = 92,16 $
  • Para 70: $ (70 - 50,4)^2 = 380,25 $
Agora, multiplicamos por cada frequência:
  • 420,25 * 8 = 3362
  • 108,16 * 10 = 1081,6
  • 0,16 * 13 = 2,08
  • 92,16 * 10 = 921,6
  • 380,25 * 9 = 3422,25
Somando tudo: 3362 + 1081,6 + 2,08 + 921,6 + 3422,25 = 8789,53
Agora, calculamos a variância:
fi
Então, o desvio padrão (S) é a raiz quadrada da variância:
xi

Passo 4

Vamos formular as hipóteses para o teste:
  • Hipótese nula (H₀): A média de empregados é 30.
    H₀: mu = 30
  • Hipótese alternativa (H₁): A média de empregados é diferente de 30.
    H₁: mu neq 30

Passo 5

Vamos calcular o valor do teste usando a fórmula do teste Z:
Z = barx - mu0Sraizn
Onde:
  • $ \bar{x} = 50,4 $
  • $ \mu_0 = 30 $
  • $ S = 13,4 $
  • $ n = 50 $
Substituindo os valores:
barx = 50,4

Passo 6

Agora, vamos comparar o valor calculado de Z com o valor crítico da distribuição normal para um teste bilateral (como mu neq 30) com nível de significância comum (por exemplo, 5%).
O valor crítico para um teste bilateral a 5% é aproximadamente ±1,96.
Como $ |10,77| > 1,96 $, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

Como rejeitamos a hipótese de que a média é 30, vamos calcular um intervalo de confiança para a verdadeira média. Vamos usar um intervalo de confiança de 95%.
A fórmula do intervalo de confiança é:
barx pm Zalpha/2 cdot Sraizn
Usando $ Z_{0,025} = 1,96 $:
Z0,025 = 1,96
50,4 pm 1,96 cdot 13,4raiz50
50,4 pm 1,96 cdot 1,895
Então, o intervalo de confiança fica entre:
50,4 pm 3,71
50,4 - 3,71 = 46,69

Resposta

A média de empregados nas indústrias está entre aproximadamente 46,69 e 54,11.

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