Supõe-se que determinado tipo de indústria deva ter, em média, 30 empregados. Para testar tal hipótese colhe-se uma amostra de 50 indústrias, cujo resultado esta na tabela. Caso rejeite a hipótese, dê um intervalo de confiança para a verdadeira média (suponha que
).
No de empregados | Frequência |
---|---|
|
8 |
|
10 |
|
13 |
|
10 |
|
9 |
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente quer testar se, em média, uma certa indústria tem 30 empregados. Para isso, temos uma amostra de 50 indústrias com a distribuição de empregados nas faixas que a tabela mostra. Vamos usar conceitos de estatística inferencial, mais especificamente testes de hipóteses para a média. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média amostral, o desvio padrão e usar a distribuição normal para o teste.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média amostral. Para isso, precisamos encontrar o ponto médio de cada intervalo de empregados e multiplicar pela frequência correspondente, somando tudo e dividindo pelo total de indústrias.
Vamos calcular os pontos médios:
- [25 ; 35[ → (25 + 35) / 2 = 30
- [35 ; 45[ → (35 + 45) / 2 = 40
- [45 ; 55[ → (45 + 55) / 2 = 50
- [55 ; 65[ → (55 + 65) / 2 = 60
- [65 ; 75[ → (65 + 75) / 2 = 70
Agora, multiplicamos cada ponto médio pela frequência:
- 30 * 8 = 240
- 40 * 10 = 400
- 50 * 13 = 650
- 60 * 10 = 600
- 70 * 9 = 630
Somando tudo: 240 + 400 + 650 + 600 + 630 = 2520
A média amostral (𝑥̄) é a soma dividida pelo total de indústrias (50):
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral. Primeiro, precisamos encontrar a variância.
Para isso, usamos a fórmula:
Onde:
- $ f_i $ é a frequência de cada classe
- $ x_i $ é o ponto médio de cada classe
- $ \bar{x} $ é a média amostral
- $ n $ é o total de observações
Vamos calcular cada termo $ (x_i - \bar{x})^2 $:
- Para 30: $ (30 - 50,4)^2 = 420,25 $
- Para 40: $ (40 - 50,4)^2 = 108,16 $
- Para 50: $ (50 - 50,4)^2 = 0,16 $
- Para 60: $ (60 - 50,4)^2 = 92,16 $
- Para 70: $ (70 - 50,4)^2 = 380,25 $
Agora, multiplicamos por cada frequência:
- 420,25 * 8 = 3362
- 108,16 * 10 = 1081,6
- 0,16 * 13 = 2,08
- 92,16 * 10 = 921,6
- 380,25 * 9 = 3422,25
Somando tudo: 3362 + 1081,6 + 2,08 + 921,6 + 3422,25 = 8789,53
Agora, calculamos a variância:
Então, o desvio padrão (S) é a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Vamos formular as hipóteses para o teste:
-
Hipótese nula (H₀): A média de empregados é 30.
-
Hipótese alternativa (H₁): A média de empregados é diferente de 30.
Passo 5
Vamos calcular o valor do teste usando a fórmula do teste Z:
Onde:
- $ \bar{x} = 50,4 $
- $ \mu_0 = 30 $
- $ S = 13,4 $
- $ n = 50 $
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos comparar o valor calculado de Z com o valor crítico da distribuição normal para um teste bilateral (como
) com nível de significância comum (por exemplo, 5%).
O valor crítico para um teste bilateral a 5% é aproximadamente ±1,96.
Como $ |10,77| > 1,96 $, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 7
Como rejeitamos a hipótese de que a média é 30, vamos calcular um intervalo de confiança para a verdadeira média. Vamos usar um intervalo de confiança de 95%.
A fórmula do intervalo de confiança é:
Usando $ Z_{0,025} = 1,96 $:
Então, o intervalo de confiança fica entre:
Resposta
A média de empregados nas indústrias está entre aproximadamente 46,69 e 54,11.