Estudar a posição relativa das retas r1:ly=2 x-3 z=-x e r2:lx=1-3 t y=4-6 t z=3 t. Resp: as retas são paralelas e não coincidentes.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a posição relativa de duas retas em R^3. O que vamos usar é geometria analítica no espaço: colocar cada reta em forma vetorial, extrair o vetor diretor e um ponto, comparar diretores (para ver paralelismo) e verificar se há interseção (para ver coincidência).

Passo 2

Parametrizamos a reta r1. Das equações
y = 2x - 3, z = -x
tomamos x = s. Então
y = 2s - 3, z = -s,
e em forma vetorial
r1: (x,y,z) = (s,,2s-3,,-s) = (0,,-3,,0) + s,(1,,2,,-1)
Assim, um ponto em r1 é P1=(0,-3,0) e seu vetor diretor é v1=(1,2,-1).

Passo 3

A reta
ou seja, em forma vetorial
Aqui, um ponto em e seu vetor diretor é .

Passo 4

Para ver se as retas são paralelas, verificamos se v2 é múltiplo de v1. De fato,
(-3,,-6,,3) = -3,(1,,2,,-1),
logo v2 = -3,v1. Concluímos que as retas são paralelas.

Passo 5

Para saber se são coincidentes, vemos se algum ponto de r2 também pertence a r1. Tentamos achar s tal que
(s,,2s-3,,-s) = (1,,4,,0)
Da primeira coordenada vem s=1. Então da segunda teríamos 2cdot1-3 = -1neq4. Não há solução simultânea, logo não há interseção e as retas não são coincidentes.

Resposta

As retas são paralelas e não coincidentes.

Exercícios relacionados