• Questão 19: Utilize a matriz aumentada e o método de escalonamento para resolver o sistema
l 3 x+2 y+z=1 2 x-y+4 z=3 x+3 y+2 z=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
3x+2y+z=1, 2x - y+4z=3, x+3y+2z=4
usando matriz aumentada e o método de escalonamento (eliminação de Gauss). Vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares até chegar a uma forma triangular superior e depois usar retro-substituição.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
(ccc|c 3 & 2 & 1 & 1 2 & -1 & 4 & 3 1 & 3 & 2 & 4 )
onde cada linha corresponde a uma equação e a última coluna é o termo independente.

Passo 3

Eliminamos o x das linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
R 2to R 2 - tfrac23R 1 e R 3to R 3 - tfrac13R 1 dão
(ccc|c 3 & 2 & 1 & 1 0 & -tfrac73 & tfrac103 & tfrac73 0 & tfrac73 & tfrac53 & tfrac113 )

Passo 4

Agora eliminamos o y da linha 3 usando a nova linha 2 como pivô:
R 3to R 3+ R 2 resulta em
(ccc|c 3 & 2 & 1 & 1 0 & -tfrac73 & tfrac103 & tfrac73 0 & 0 & 5 & 6 )
ficando na forma triangular superior.

Passo 5

Fazemos a retro-substituição:
Da terceira linha,
5z = 6 Longrightarrow z = 65
Da segunda linha,
-tfrac73y + tfrac103cdot65 = 73 Longrightarrow -tfrac73y + 6015 = 73 Longrightarrow -tfrac73y + 4 = 73
-tfrac73y = 73 - 4 = -53 Longrightarrow y = 57
Da primeira linha,
3x + 2cdot57 + 65 = 1 Longrightarrow 3x + 107 + 65 = 1
3x = 1 - l(107+65r) = 1 - 9235 = -5735 Longrightarrow x = -5735cdot13 = -1935

Resposta

(x,y,z)=l(-tfrac1935,,tfrac57,,tfrac65r)

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