Seja
uma base ortonormal de
. Determine as coordenadas na base
da projeção ortogonal do vetor
na direção do vetor
nos seguintes casos:
(2)
e
.
(2)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma base ortonormal
no espaço tridimensional
. Temos dois vetores,
e
, com as coordenadas na base
dadas por
e
. O que a gente precisa fazer é encontrar as coordenadas na base
da projeção ortogonal de
na direção de
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e projeção de vetores. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor
na direção de outro vetor
. A fórmula da projeção ortogonal de
em
é:
Aqui,
é o produto escalar entre
e
, e
é o produto escalar de
consigo mesmo, que na verdade é o quadrado do comprimento de
.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. Com as coordenadas:
O produto escalar é:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar essa fração ao vetor
para encontrar a projeção:
Calculando cada componente:
Resposta
As coordenadas na base
da projeção ortogonal de
na direção de
são
.