Seja E uma base ortonormal de V^3. Determine as coordenadas na base E da projeção ortogonal do vetor w na direção do vetor v nos seguintes casos:
(2) [w]E=(-1,1,1) e [v]E=(-2,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma base ortonormal E no espaço tridimensional V^3 . Temos dois vetores, w e v , com as coordenadas na base E dadas por [w]E=(-1,1,1) e [v]E=(-2,1,2) . O que a gente precisa fazer é encontrar as coordenadas na base E da projeção ortogonal de w na direção de v .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e projeção de vetores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor w na direção de outro vetor v . A fórmula da projeção ortogonal de w em v é:
projv(w) = ( w cdot vv cdot v ) v
Aqui, w cdot v é o produto escalar entre w e v , e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo, que na verdade é o quadrado do comprimento de v .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar w cdot v . Com as coordenadas:
w = (-1, 1, 1) v = (-2, 1, 2)
O produto escalar é:
w cdot v = (-1)(-2) + (1)(1) + (1)(2) = 2 + 1 + 2 = 5

Passo 4

Agora, vamos calcular v cdot v :
v cdot v = (-2)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9
Então, temos:
w cdot vv cdot v = 59

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa fração ao vetor v para encontrar a projeção:
projv(w) = 59 v = 59 (-2, 1, 2) = ( 59 times -2, 59 times 1, 59 times 2 )
Calculando cada componente:
( -109, 59, 109 )

Resposta

As coordenadas na base E da projeção ortogonal de w na direção de v são ( -dfrac109, dfrac59, dfrac109 ) .

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