• Questão 18: Determine, pelo Teorema do Posto, se o sistema abaixo é possível ou não:
l x+y+z=3 2 x+3 y+z=7 4 x+5 y+2 z=10

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x + y + z = 3, 2x + 3y + z = 7, 4x + 5y + 2z = 10,
e pede para usar o Teorema do Posto (Teorema de Rouché–Capelli) para decidir se ele é possível (consistente) ou não. Saberemos que o sistema é possível exatamente quando o posto da matriz de coeficientes A for igual ao posto da matriz ampliada [A|b].

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e o vetor de termos independentes b:
A = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 1 4 & 5 & 2 , b = 3710
A matriz ampliada é
[A|b] = 1 & 1 & 1 & 3 2 & 3 & 1 & 7 4 & 5 & 2 & 10

Passo 3

Para saber o posto de A basta calcular seu determinante. Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores:
det(A) = 1cdot(3cdot2 - 1cdot5) -1cdot(2cdot2 - 1cdot4) +1cdot(2cdot5 - 3cdot4) = 1cdot(6-5)-1cdot(4-4)+1cdot(10-12) = 1 - 0 - 2 = -1
Como det(A) = -1 neq 0, concluímos que rank(A)=3.

Passo 4

O posto da matriz ampliada [A|b] não pode ser maior que o de A; logo
rank([A|b]) <= rank(A)=3
Mas [A|b] tem 3 linhas independentes (já que A é invertível), então rank([A|b])=3. Como rank(A)=rank([A|b]), o sistema é possível e, sendo o posto igual ao número de incógnitas ( 3), é determinado (tem solução única).

Resposta

O sistema é possível e determinado (há única solução).

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