Questão 18: Determine, pelo Teorema do Posto, se o sistema abaixo é possível ou não:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
x + y + z = 3, 2x + 3y + z = 7, 4x + 5y + 2z = 10,
e pede para usar o Teorema do Posto (Teorema de Rouché–Capelli) para decidir se ele é possível (consistente) ou não. Saberemos que o sistema é possível exatamente quando o posto da matriz de coeficientes A for igual ao posto da matriz ampliada [A|b].
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes A e o vetor de termos independentes b:
O posto da matriz ampliada [A|b] não pode ser maior que o de A; logo
rank([A|b]) <= rank(A)=3
Mas [A|b] tem 3 linhas independentes (já que A é invertível), então rank([A|b])=3. Como rank(A)=rank([A|b]), o sistema é possível e, sendo o posto igual ao número de incógnitas (3), é determinado (tem solução única).
Resposta
O sistema é possível e determinado (há única solução).