Estudar a seção 15.7 e resolver os seguintes exercícios: 1, 3, 7 e 9
Cálculo - James Stewart - 7ạ Edição

15.7 Exercícios

Calcule a integral iterada.
integral0^pi / 2 integral0^y integral0^x cos (x+y+z) d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla passo a passo! O enunciado pede para calcular a integral iterada integral0^pi / 2 integral0^y integral0^x cos (x + y + z) , dz , dx , dy. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente integrais triplas, onde precisamos integrar uma função de três variáveis. Vamos precisar lembrar como integrar funções trigonométricas e entender a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. A integral está escrita como integral0^pi / 2 integral0^y integral0^x cos (x + y + z) , dz , dx , dy. Isso significa que para cada valor de y entre 0 e pi/2, x varia de 0 até y, e para cada x, z varia de 0 até x. Vamos começar integrando em relação a z.

Passo 3

Vamos integrar a função cos(x + y + z) em relação a z, mantendo x e y constantes. A integral de cos(u) em relação a u é sin(u), então:
integral0^x cos(x + y + z) , dz = sin(x + y + z) gr|0^x = sin(x + y + x) - sin(x + y + 0)
Simplificando os argumentos:
= sin(2x + y) - sin(x + y)

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da primeira integração na integral dupla restante:
integral0^pi / 2 integral0^y [sin(2x + y) - sin(x + y)] , dx , dy
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integral0^pi / 2 integral0^y sin(2x + y) , dx , dy - integral0^pi / 2 integral0^y sin(x + y) , dx , dy

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral dupla:
integral0^pi / 2 integral0^y sin(2x + y) , dx , dy
Primeiro, integramos em relação a x:
integral sin(2x + y) , dx = -12 cos(2x + y) + C
Avaliando de 0 a y:
-12 [cos(2y + y) - cos(0 + y)] = -12 [cos(3y) - cos(y)]

Passo 6

Agora, integramos esse resultado em relação a y:
-12 integral0^pi / 2 [cos(3y) - cos(y)] , dy
Integrando termo a termo:
-12 [ sin(3y)3 - sin(y) ] gr|0^pi / 2
Avaliando nos limites:
-12 [ sin(3pi2)3 - sin(pi2) - ( sin(0)3 - sin(0) ) ]
Sabendo que sin(3pi2) = -1 e sin(pi2) = 1:
-12 [ -13 - 1 ] = -12 ( -43 ) = 23

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral dupla:
integral0^pi / 2 integral0^y sin(x + y) , dx , dy
Primeiro, integramos em relação a x:
integral sin(x + y) , dx = -cos(x + y) + C
Avaliando de 0 a y:
-cos(2y) + cos(y)

Passo 8

Agora, integramos esse resultado em relação a y:
integral0^pi / 2 [-cos(2y) + cos(y)] , dy = -integral0^pi / 2 cos(2y) , dy + integral0^pi / 2 cos(y) , dy
Integrando termo a termo:
- [ sin(2y)2 ] gr|0^pi / 2 + [sin(y)] gr|0^pi / 2
Avaliando nos limites:
- [ sin(pi)2 - sin(0)2 ] + [sin(pi2) - sin(0)] = -0 + (1 - 0) = 1

Resposta

Somando as duas partes que calculamos:
23 - 1 = -13
Então, o valor final da integral é -13.

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