Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto p=1 : f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, \quad \text { se } x \leq 1 \\\\ 2 x-1, \quad \text { se } x>1\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado pede que eu estude a continuidade e a diferenciabilidade da função f\) no ponto \(p=1\). A função é dada por
\[f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{se } x\leq 1,\\[4pt] 2x-1, & \text{se } x>1. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
O valor de f\] quando \(x\leq 1 é x^{2}.
O valor de f quando x>1 é 2x-1.
O ponto onde devo verificar continuidade e diferenciabilidade é p=1.
As perguntas explícitas são: (i) f é contínua em p=1? e (ii) f é diferenciável em p=1?]
Passo 2
Primeiro vou calcular o valor de f no próprio ponto p=1. Como 1\leq 1, usa-se o primeiro ramo x^{2}. Logo
f(1)=1^{2}=1.
Isto é importante porque, para verificar continuidade, vou comparar f(1) com os limites laterais.
Passo 3
Relembre a definição prática de continuidade num ponto: f é contínua em p se e somente se \displaystyle\lim_{x\to p} f(x)=f(p). Para funções definidas por partes, calculamos os limites laterais \lim_{x\to p^-} f(x) e \lim_{x\to p^+} f(x) e verificamos se ambos existem e são iguais a f(p).
Vou calcular o limite pela esquerda em p=1. Quando x\to 1^{-} temos x\leq 1, então usamos x^{2}. Portanto
Explicação didática: 2x-1 também é uma função linear (e contínua), então o limite ao se aproximar de 1 é 2\cdot 1-1.
Passo 5
Comparando os resultados: \lim_{x\to 1^-} f(x)=1, \lim_{x\to 1^+} f(x)=1 e f(1)=1. Como os limites laterais existem, são iguais entre si e igualam f(1), concluímos que f é contínua em p=1.
Comentário encorajador: ótimo — continuidades em pontos de troca de ramo costumam falhar, mas aqui os dois ramos “casaram” no valor 1.
Passo 6
Agora veremos diferenciabilidade. Relembre a definição de derivada num ponto p: f é diferenciável em p se o limite
f'(p)=\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}
existe finito. Para funções por partes, é conveniente calcular as derivadas laterais (os limites com h\to 0^- e h\to 0^+); se as duas derivadas laterais existirem e forem iguais, então f é diferenciável em p e esse valor comum é f'(p).
Passo 7
Calculo da derivada lateral pela esquerda em p=1. Para h<0 pequeno temos 1+h\leq 1, então usamos o ramo x^{2}. Usando a definição:
Explicação didática: o quociente simplifica exatamente para 2 quando h\neq 0, então o limite é 2.]
Passo 9
Como as derivadas laterais existem e são iguais (2 e 2), a derivada total em p=1 existe e é igual a 2. Portanto f é diferenciável em p=1 e f'(1)=2.
Comentário final motivador: então além de contínua, a função ainda tem derivada naquele ponto — os dois ramos alinharam as inclinações.