Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto p=1 :
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, \quad \text { se } x \leq 1 \\\\ 2 x-1, \quad \text { se } x>1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede que eu estude a continuidade e a diferenciabilidade da função f\) no ponto \(p=1\). A função é dada por \[f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{se } x\leq 1,\\[4pt] 2x-1, & \text{se } x>1. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  1. O valor de f\] quando \(x\leq 1 é x^{2}.
  2. O valor de f quando x>1 é 2x-1.
  3. O ponto onde devo verificar continuidade e diferenciabilidade é p=1.
    As perguntas explícitas são: (i) f é contínua em p=1? e (ii) f é diferenciável em p=1?]

Passo 2

Primeiro vou calcular o valor de f no próprio ponto p=1. Como 1\leq 1, usa-se o primeiro ramo x^{2}. Logo
f(1)=1^{2}=1.
Isto é importante porque, para verificar continuidade, vou comparar f(1) com os limites laterais.

Passo 3

Relembre a definição prática de continuidade num ponto: f é contínua em p se e somente se \displaystyle\lim_{x\to p} f(x)=f(p). Para funções definidas por partes, calculamos os limites laterais \lim_{x\to p^-} f(x) e \lim_{x\to p^+} f(x) e verificamos se ambos existem e são iguais a f(p).
Vou calcular o limite pela esquerda em p=1. Quando x\to 1^{-} temos x\leq 1, então usamos x^{2}. Portanto
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} x^{2}=\;1^{2}=1.
Explicação didática: a expressão x^{2} é contínua em todos os pontos, então o limite quando x se aproxima de 1 é simplesmente 1^{2}.

Passo 4

Agora o limite pela direita em p=1. Quando x\to 1^{+} temos x>1, então usamos 2x-1. Assim
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (2x-1)=2\cdot 1 -1 =1.
Explicação didática: 2x-1 também é uma função linear (e contínua), então o limite ao se aproximar de 1 é 2\cdot 1-1.

Passo 5

Comparando os resultados: \lim_{x\to 1^-} f(x)=1, \lim_{x\to 1^+} f(x)=1 e f(1)=1. Como os limites laterais existem, são iguais entre si e igualam f(1), concluímos que f é contínua em p=1.
Comentário encorajador: ótimo — continuidades em pontos de troca de ramo costumam falhar, mas aqui os dois ramos “casaram” no valor 1.

Passo 6

Agora veremos diferenciabilidade. Relembre a definição de derivada num ponto p: f é diferenciável em p se o limite
f'(p)=\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}
existe finito. Para funções por partes, é conveniente calcular as derivadas laterais (os limites com h\to 0^- e h\to 0^+); se as duas derivadas laterais existirem e forem iguais, então f é diferenciável em p e esse valor comum é f'(p).

Passo 7

Calculo da derivada lateral pela esquerda em p=1. Para h<0 pequeno temos 1+h\leq 1, então usamos o ramo x^{2}. Usando a definição:
\begin{aligned} \lim_{h\to 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} &=\lim_{h\to 0^-}\frac{(1+h)^{2}-1}{h}\\[4pt] &=\lim_{h\to 0^-}\frac{1+2h+h^{2}-1}{h}\\[4pt] &=\lim_{h\to 0^-}\frac{2h+h^{2}}{h}\\[4pt] &=\lim_{h\to 0^-}\bigl(2+h\bigr)=2. \end{aligned}
Explicação didática: fiz divisão termo a termo e simplifiquei h (para h\neq 0), depois tomei limite; o termo h que sobra vai para zero.]

Passo 8

Calculo da derivada lateral pela direita em p=1. Para h>0 pequeno temos 1+h>1, então usamos o ramo 2x-1. Pela definição:
\begin{aligned} \lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} &=\lim_{h\to 0^+}\frac{2(1+h)-1-1}{h}\\[4pt] &=\lim_{h\to 0^+}\frac{2+2h-1-1}{h}\\[4pt] &=\lim_{h\to 0^+}\frac{2h}{h}\\[4pt] &=\lim_{h\to 0^+}2=2. \end{aligned}
Explicação didática: o quociente simplifica exatamente para 2 quando h\neq 0, então o limite é 2.]

Passo 9

Como as derivadas laterais existem e são iguais ( 2 e 2), a derivada total em p=1 existe e é igual a 2. Portanto f é diferenciável em p=1 e f'(1)=2.
Comentário final motivador: então além de contínua, a função ainda tem derivada naquele ponto — os dois ramos alinharam as inclinações.

Resposta

Contínua em p=1.
Diferenciável em p=1 e f'(1)=2.

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