Questão 04: Dados dois mergulhos aparentes de um mesmo plano encontre o mergulho verdadeiro.
a) 30^{\circ} / \mathrm{N} 40 \mathrm{E} e 20^{\circ} / \mathrm{S} 50 \mathrm{E}

Passo 1

O enunciado pede: a partir de dois mergulhos aparentes do mesmo plano, encontrar o mergulho verdadeiro (magnitude e direção).
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
\;30^\circ\\ /\\ N\,40^\circ E
\;20^\circ\\ /\\ S\,50^\circ E
Vou primeiro transformar as direções em azimutes (medidos a partir do Norte, no sentido horário):
\;N\,40^\circ E \rightarrow \beta_1 = 40^\circ (azimute)
\;S\,50^\circ E \rightarrow \beta_2 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ
Resumo dos dados que vamos usar:
\alpha_1 = 30^\circ,\\ \beta_1 = 40^\circ
\alpha_2 = 20^\circ,\\ \beta_2 = 130^\circ

Passo 2

Conceito e fórmula principal (aula rápida, bem didática):
  • O mergulho verdadeiro (ou dip verdadeiro) é o maior ângulo que o plano faz com a horizontal; sua direção é o azimute para o qual esse mergulho é medido. Vou chamar o mergulho verdadeiro de \delta e sua direção (azimute) de D.
  • Um mergulho aparente \alpha medido numa direção de azimute \beta está relacionado ao mergulho verdadeiro \delta por esta fórmula simples e muito usada:
\tan(\alpha) = \tan(\delta)\cos(\beta - D).
Explicando cada termo:
  • \tan(\alpha): tangente do mergulho aparente (ângulo que queremos medir na direção \beta).
  • \tan(\delta): tangente do mergulho verdadeiro (o que procuramos).
  • \cos(\beta - D): cosseno da diferença entre a direção do mergulho aparente e a direção do mergulho verdadeiro; esse fator reduz a tangente do mergulho verdadeiro quando a medição não é feita na direção de maior inclinação.
    Essa fórmula vem da projeção do declive do plano na direção da medição.

Passo 3

Montando as duas equações para os dois aparentes e eliminando \tan(\delta):
Para \alpha_1 medido em \beta_1:
\tan(\alpha_1) = \tan(\delta)\cos(\beta_1 - D).
Para \alpha_2 medido em \beta_2:
\tan(\alpha_2) = \tan(\delta)\cos(\beta_2 - D).
Dividindo a primeira pela segunda para eliminar \tan(\delta):
\frac{\tan(\alpha_1)}{\tan(\alpha_2)} = \frac{\cos(\beta_1 - D)}{\cos(\beta_2 - D)}.
Chamando \;r = \dfrac{\tan(\alpha_1)}{\tan(\alpha_2)}, obtemos
r\cos(\beta_2 - D) - \cos(\beta_1 - D) = 0.
Usando a identidade \cos(A - B)=\cos A\cos B + \sin A\sin B e agrupando os termos em \cos D e \sin D, temos
\big(r\cos\beta_2 - \cos\beta_1\big)\cos D + \big(r\sin\beta_2 - \sin\beta_1\big)\sin D = 0.
Isto é da forma A\cos D + B\sin D = 0, cuja solução é
\tan D = -\dfrac{A}{B}
com
A = r\cos\beta_2 - \cos\beta_1,\qquad B = r\sin\beta_2 - \sin\beta_1.
Depois de achar D usamos qualquer uma das relações originais para obter \delta:
\tan(\delta) = \dfrac{\tan(\alpha_1)}{\cos(\beta_1 - D)}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente passo a passo (vou mostrar cada cálculo para você poder reproduzir na prova sem pular etapas).
Calcule as tangentes e o quociente r:
\tan(\alpha_1)=\tan(30^\circ)=0,5773502692
\tan(\alpha_2)=\tan(20^\circ)=0,3639702343
r=\dfrac{\tan(\alpha_1)}{\tan(\alpha_2)}=\dfrac{0,5773502692}{0,3639702343}=1,586492\quad(\text{aprox.})
Calcule \cos e \sin das direções \beta_1 e \beta_2:
\cos\beta_1=\cos(40^\circ)=0,7660444431,\qquad \sin\beta_1=\sin(40^\circ)=0,6427876097
\cos\beta_2=\cos(130^\circ)=-0,6427876097,\qquad \sin\beta_2=\sin(130^\circ)=0,7660444431
Agora A e B:
A = r\cos\beta_2 - \cos\beta_1 = 1,586492\cdot(-0,6427876097) - 0,7660444431 = -1,785791443
B = r\sin\beta_2 - \sin\beta_1 = 1,586492\cdot 0,7660444431 - 0,6427876097 = 0,5712863903
Logo
\tan D = -\dfrac{A}{B} = -\dfrac{-1,785791443}{0,5712863903} = 3,126918
D = \arctan(3,126918) \approx 72,37^\circ.
Interpretando o azimute na notação de rumo: D \approx 72,37^\circ corresponde a N\,72^\circ22'\,E (porque 0{,}37^\circ\times60\approx22'). Observação: o mergulho tem direção e a direção oposta D+180^\circ também é solução geométrica para o plano (mas normalmente escolhemos a direção em que o plano “desce” conforme o contexto).

Passo 5

Agora achamos o mergulho verdadeiro \delta usando a primeira métrica (poderíamos usar a segunda como checagem):
Calcule \beta_1 - D:
\beta_1 - D = 40^\circ - 72{,}37^\circ = -32{,}37^\circ.
Calcule \cos(\beta_1 - D):
\cos(-32{,}37^\circ)=\cos(32{,}37^\circ)\approx 0,84395.
Então
\tan(\delta)=\dfrac{\tan(\alpha_1)}{\cos(\beta_1 - D)}=\dfrac{0,5773502692}{0,84395}=0,6844
\delta=\arctan(0,6844)\approx 34{,}44^\circ.
Verificação rápida com a segunda medição:
\beta_2 - D = 130^\circ - 72{,}37^\circ = 57{,}63^\circ,\qquad \cos(57{,}63^\circ)\approx 0,5359
\tan(\delta)_{\text{via 2}}=\dfrac{\tan(\alpha_2)}{\cos(57{,}63^\circ)}=\dfrac{0,3639702343}{0,5359}=0,6793\Rightarrow \delta\approx 34{,}18^\circ.
As pequenas diferenças vêm de arrendondamentos intermediários; tomando mais casas decimais dá convergência entre os dois resultados. Como média/valor consistente tomamos \delta\approx 34{,}4^\circ (ou \,34^\circ26' aproximadamente).

Passo 6

Interpretação final e dica para prova (rápida, motivadora):
  • O mergulho verdadeiro que corresponde aos dois mergulhos aparentes dados é cerca de \,34{,}4^\circ.
  • A direção do mergulho (azimute) é cerca de 72{,}37^\circ, que em notação de rumo é N\,72^\circ22'\,E.
    Dica prática: na prova, organize sempre as equações como eu fiz (definir \tan\alpha=\tan\delta\cos(\beta-D)), elimine \tan\delta dividindo as equações e resolva para D com a identidade linear em \cos D e \sin D. Assim reduzimos o problema a uma tangente simples.

Resposta

\delta \approx 34{,}4^\circ
Direção do mergulho: N\,72^\circ22'\,E

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