Estude a continuidade da função f(x, y)=10 x yx^2+y^2 no ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar se a função f(x, y) = 10xyx^2+y^2 é contínua no ponto (0,0). Isso significa que queremos saber se, conforme nos aproximamos de (0,0), o valor da função se aproxima de um valor específico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Uma função f(x, y) é contínua no ponto (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
lim(x,y) to (a,b) f(x, y) = f(a, b)
No nosso caso, queremos ver se:
lim(x,y) to (0,0) 10xyx^2+y^2
existe e se pode ser definido adequadamente para tornar f contínua em (0,0).

Passo 3

Para calcular esse limite, uma estratégia comum é verificar se o valor do limite é o mesmo ao se aproximar de (0,0) por diferentes caminhos. Se os limites forem diferentes por caminhos diferentes, o limite geral não existe, e a função não é contínua nesse ponto.

Passo 4

Vamos testar dois caminhos simples:
Caminho 1: Aproximando-se ao longo do eixo x, ou seja, y = 0 .
f(x, 0) = 10x cdot 0x^2 + 0^2 = 0
Então,
limx to 0 f(x, 0) = 0
Caminho 2: Aproximando-se ao longo da linha y = x .
f(x, x) = 10x cdot xx^2 + x^2 = 10x^22x^2 = 5
Então,
limx to 0 f(x, x) = 5

Passo 5

Vimos que ao se aproximar pelo eixo x, o limite é 0, e ao se aproximar pela linha y = x, o limite é 5. Como esses limites são diferentes, isso indica que o limite geral quando (x, y) to (0,0) não existe.

Resposta

A função f(x, y) = 10xyx^2+y^2 não é contínua no ponto (0,0), já que o limite não existe nesse ponto.

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