Estude a continuidade da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar se a função
é contínua no ponto
. Isso significa que queremos saber se, conforme nos aproximamos de
, o valor da função se aproxima de um valor específico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos ver se:
existe e se pode ser definido adequadamente para tornar
contínua em
.
Passo 3
Para calcular esse limite, uma estratégia comum é verificar se o valor do limite é o mesmo ao se aproximar de
por diferentes caminhos. Se os limites forem diferentes por caminhos diferentes, o limite geral não existe, e a função não é contínua nesse ponto.
Passo 4
Vamos testar dois caminhos simples:
Caminho 1: Aproximando-se ao longo do eixo
, ou seja,
.
Então,
Caminho 2: Aproximando-se ao longo da linha
.
Então,
Passo 5
Vimos que ao se aproximar pelo eixo
, o limite é
, e ao se aproximar pela linha
, o limite é
. Como esses limites são diferentes, isso indica que o limite geral quando
não existe.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
, já que o limite não existe nesse ponto.