Mostre que lim (x, y) (0,0) 10 x yx^2+y^2 não existe.

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte problema: precisamos mostrar que o limite de 10xyx^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0) não existe. Vamos usar conceitos de cálculo de limites de funções de duas variáveis e explorar diferentes caminhos para ver se obtemos resultados distintos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Quando falamos de limites em duas variáveis, a gente olha para o comportamento da função conforme (x, y) se aproxima do ponto (0,0) por diferentes caminhos. Se a gente obtiver valores diferentes para esses caminhos, isso indica que o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar escolhendo um caminho simples: o eixo x, onde y = 0. Substituindo isso na função:
10x cdot 0x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0
Então, pelo caminho y = 0, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos escolher outro caminho: a reta y = x. Substituindo y por x na função:
10x cdot xx^2 + x^2 = 10x^22x^2 = 102 = 5
Pelo caminho y = x, o limite é 5.

Passo 5

Observamos que ao aproximar (x, y) de (0,0) por dois caminhos diferentes, obtivemos limites diferentes: 0 e 5. Isso significa que o comportamento da função depende do caminho escolhido para se aproximar do ponto.

Passo 6

De acordo com a teoria dos limites em várias variáveis, se os limites obtidos por caminhos diferentes não são iguais, então o limite geral não existe.

Resposta

Portanto, o limite lim (x, y) (0,0) 10 x yx^2+y^2 não existe.

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