Mostre que
não existe.
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte problema: precisamos mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
não existe. Vamos usar conceitos de cálculo de limites de funções de duas variáveis e explorar diferentes caminhos para ver se obtemos resultados distintos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Quando falamos de limites em duas variáveis, a gente olha para o comportamento da função conforme
se aproxima do ponto
por diferentes caminhos. Se a gente obtiver valores diferentes para esses caminhos, isso indica que o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar escolhendo um caminho simples: o eixo
, onde
. Substituindo isso na função:
Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos escolher outro caminho: a reta
. Substituindo
por
na função:
Pelo caminho
, o limite é 5.
Passo 5
Observamos que ao aproximar
de
por dois caminhos diferentes, obtivemos limites diferentes: 0 e 5. Isso significa que o comportamento da função depende do caminho escolhido para se aproximar do ponto.
Passo 6
De acordo com a teoria dos limites em várias variáveis, se os limites obtidos por caminhos diferentes não são iguais, então o limite geral não existe.
Resposta
Portanto, o limite
não existe.