Q.4: Estude a continuidade das funções nos itens a seguir.
Determine, se possível, para quais valores de a in R a função f é contínua.
f(x)= x^2+1, & se x <= 1 x^2+9x^2-a, & se x>1

Passo 1

O enunciado define a função por partes\r
f(x)= x^2+1, & x<=1, dfracx^2+9x^2-a, & x>1, \r
e pergunta para quais valores de ainR essa f é contínua em todo R. Vamos usar o conceito de continuidade em ramos (polinômio e função racional) e combinar limites laterais no ponto de fronteira x=1.

Passo 2

Para x<1, f(x)=x^2+1 é um polinômio, logo contínua. Para x>1, \r
f(x)=x^2+9x^2-a \r
é contínua sempre que o denominador não é zero, ou seja, se não existir x>1 tal que x^2-a=0. Se a>1, então raiza>1 e em x=raiza o denominador anula, gerando descontinuidade. Portanto, para continuidade em todo x>1 precisamos que não haja raiz real maior que 1, o que equivale a exigir a<=1.

Passo 3

Agora estudamos o ponto . Devemos ter\r
\r
Sabemos . Já\r
\r
Para continuidade em impomos\r
\r
Em display,\r

Passo 4

Verificamos a=-4 no ramo x>1: o denominador fica x^2-(-4)=x^2+4>0 para todo x, logo não há ponto de descontinuidade em (1,infty). Como já garantimos continuidade em (-infty,1] e a condição de encaixe em x=1, concluímos que a=-4 faz f contínua em todo R.

Resposta

a=-4

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