Exercício 4. Calcule a integral de linha do campo vetorial vec{F} sobre gamma especificada:
vec{F}(x, y)=\left(e^{x-1}, x y\right) e gamma(t)=\left(t^{2}, t^{3}\right), t \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
do campo vetorial \vec F(x,y)=(e^{x-1},\,x\,y) ao longo da curva parametrizada por
\gamma(t)=(t^2,\;t^3),\quad t\in[0,1].
Para resolver, vamos usar a definição
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r \;=\;\int_{0}^{1}\vec F\bigl(\gamma(t)\bigr)\cdot \gamma'(t)\,dt.

Passo 2

Primeiro encontramos \gamma'(t) e avaliamos \vec F em \gamma(t).
\gamma'(t)=(2t,\;3t^2),
\vec F\bigl(\gamma(t)\bigr)=\bigl(e^{\,t^2-1},\;t^2\cdot t^3\bigr)=\bigl(e^{\,t^2-1},\;t^5\bigr).

Passo 3

Formamos o integrando pelo produto escalar
\vec F\bigl(\gamma(t)\bigr)\cdot \gamma'(t) = e^{\,t^2-1}\cdot(2t)\;+\;t^5\cdot(3t^2) =2t\,e^{\,t^2-1}+3t^7.
Logo
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{1}\bigl(2t\,e^{\,t^2-1}+3t^7\bigr)\,dt.

Passo 4

Separamos em duas integrais e calculamos a primeira por substituição.
\int_{0}^{1}2t\,e^{\,t^2-1}\,dt.
Fazendo u=t^2-1, temos du=2t\,dt e, quando t=0, u=-1; quando t=1, u=0. Assim
\int_{0}^{1}2t\,e^{\,t^2-1}\,dt =\int_{u=-1}^{0}e^{u}\,du =\bigl[e^{u}\bigr]_{-1}^{0} =1-\tfrac{1}{e}.

Passo 5

A segunda integral é direta:
\int_{0}^{1}3t^7\,dt =3\cdot\frac{t^8}{8}\Big|_{0}^{1} =\frac{3}{8}.

Passo 6

Somando os resultados:
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =\Bigl(1-\tfrac{1}{e}\Bigr)+\frac{3}{8} =\frac{11}{8}-\frac{1}{e}.

Resposta

\frac{11}{8}-\frac{1}{e}.

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