Exercício 4. Calcule a integral de linha do campo vetorial vec{F} sobre gamma especificada:
vec{F}(x, y, z)=\left((x+y)^{2}, x z, y+z\right) e gamma(t)=\left(t^{2}, t^{3},-2 t\right), t \in[0,2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r
onde
\vec F(x,y,z)=\bigl((x+y)^2,\;x z,\;y+z\bigr) \quad\text{e}\quad \gamma(t)=\bigl(t^2,\;t^3,\;-2t\bigr),\;t\in[0,2].
O conteúdo necessário é a parametrização da curva, substituição em \vec F, cálculo de \gamma'(t), produto escalar e integração de uma função de t.

Passo 2

Parametrizamos \vec F ao longo de \gamma. Chamando x=t^2, y=t^3, z=-2t, temos
x+y = t^2 + t^3,\quad (x+y)^2 = \bigl(t^2+t^3\bigr)^2 = t^4(1+t)^2,
x z = t^2\cdot(-2t) = -2t^3, \quad y+z = t^3 - 2t.
Logo,
\vec F\bigl(\gamma(t)\bigr) = \bigl(t^4(1+t)^2,\;-2t^3,\;t^3-2t\bigr).

Passo 3

Calculamos \gamma'(t):
\gamma'(t) = \bigl(2t,\;3t^2,\;-2\bigr).
O produto escalar \vec F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) é
t^4(1+t)^2\cdot2t \;+\;(-2t^3)\cdot3t^2 \;+\;(t^3-2t)\cdot(-2).

Passo 4

Expandimos e simplificamos o integrando:
2t\cdot t^4(1+t)^2 = 2t^5(1+2t+t^2) = 2t^5 +4t^6+2t^7,
(-2t^3)\cdot3t^2 = -6t^5, \quad (t^3-2t)\cdot(-2) = -2t^3 +4t.
Somando tudo, obtemos
\vec F\cdot\gamma' = 2t^7 +4t^6 -4t^5 -2t^3 +4t.

Passo 5

Montamos a integral em t:
\int_{0}^{2}\bigl(2t^7 +4t^6 -4t^5 -2t^3 +4t\bigr)\,dt.
Calculamos o antiderivado termo a termo:
\int2t^7\,dt = \tfrac{1}{4}t^8,\; \int4t^6\,dt = \tfrac{4}{7}t^7,\; \int-4t^5\,dt = -\tfrac{2}{3}t^6,
\int-2t^3\,dt = -\tfrac{1}{2}t^4,\; \int4t\,dt = 2t^2.
Assim o antiderivado é
A(t) = \tfrac{1}{4}t^8 + \tfrac{4}{7}t^7 - \tfrac{2}{3}t^6 - \tfrac{1}{2}t^4 +2t^2.

Passo 6

Avaliamos A(t) de 0 a 2:
A(2) = \tfrac{1}{4}\,2^8 + \tfrac{4}{7}\,2^7 - \tfrac{2}{3}\,2^6 - \tfrac{1}{2}\,2^4 +2\cdot2^2 =64 + \tfrac{512}{7} - \tfrac{128}{3} -8 +8.
Como -8+8=0, resta
64 + \frac{512}{7} - \frac{128}{3} =64 + \frac{640}{21} =\frac{64\cdot21 +640}{21} =\frac{1984}{21}.

Resposta

\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r = \frac{1984}{21}.

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