Estude a convergência de cada uma das séries abaixo.
sumn=0^infty(1raiz2)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
sumn=0^inftyl(tfrac1raiz2r)^n
O conteúdo aqui é séries geométricas e vamos precisar do critério de convergência para séries geométricas, que diz que se a razão r satisfaz lvert rrvert<1, a série converge e sua soma é dada por 1/(1-r).

Passo 2

Para ver que é uma série geométrica, note que o termo geral é
an = l(tfrac1raiz2r)^n
logo a primeira parcela é a0 =1 e a razão é
r = tfrac1raiz2

Passo 3

Aplicando o critério de convergência de séries geométricas: como
llvert rrrvert = llverttfrac1raiz2rrvert = tfrac1raiz2 < 1,
a série converge absolutamente.

Passo 4

A soma de uma série geométrica com a0=1 e razão r é
sumn=0^inftyr^n = 11-r
Aqui temos
sumn=0^inftyl(tfrac1raiz2r)^n = 11 - tfrac1raiz2 = raiz2raiz2-1 = raiz2(raiz2+1)(raiz2-1)(raiz2+1) =2+raiz2

Resposta

A série converge absolutamente e
sumn=0^inftyl(tfrac1raiz2r)^n=2+raiz2

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