Estude a convergência de cada uma das séries abaixo.
sumn=1^infty ln (nn+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty ln!gl(nn+1gr)
O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar duas ideias principais: propriedades de logaritmo para reescrever o termo geral e a soma telescópica para avaliar o comportamento das somas parciais.

Passo 2

Usando a propriedade do logaritmo que diz ln(a/b)=ln a-ln b, temos
ln!gl(nn+1gr) =ln n - ln(n+1)

Passo 3

Definimos a soma parcial
SN=sumn=1^Nln!gl(nn+1gr) =sumn=1^Nl(ln n - ln(n+1)r)
Observe que essa soma é telescópica, pois ao expandir termos consecutivos cancelam-se:
SN=(ln1-ln2)+(ln2-ln3)+cdots+(ln N-ln(N+1)) =ln1 - ln(N+1)

Passo 4

Como ln1=0, temos
SN=-ln(N+1)
E, ao deixar Ntoinfty,
limNtoinftySN =-limNtoinftyln(N+1) =-infty
Isso mostra que as somas parciais não se aproximam de um número finito, mas vão a -infty.

Resposta

A série
sumn=1^inftyln!gl(nn+1gr)
é divergente (suas somas parciais tendem a -infty).

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