Temos o seguinte resultado:
Teorema da representação por série de Fourier: Seja f uma função suave por partes de período 2 T. Para todo x in Df :
  • se f é contínua em x
f(x)=a02+(x)+sumn=1^infty[an cos (n pi xT)+bn sen(n pi xT)]
com
a0=1T integral-T^T f(x) d x an=1T integral-T^T f(x) cos (n pi xT) d x
e
bn=1T integral-T^T f(x) sen(n pi xT) d x
  • se f não é contínua em x, então
a02+(x)+sumn=1^infty[an cos (n pi xT)+bn sen(n pi xT)]=lim t x^+ f(t)+lim t x^- f(t)2
Exemplo: Dada f(x)=cc1, & 0 <= x<pi 0, & -pi <= x<0 com f(x+2 pi)=f(x), calcule a série de Fourier de f, e indique os valores assumidos por tal série.
Solução: Sendo f uma função periódica de período 2 pi e suave por partes, podemos usar o teorema para calcular os coeficientes da série de Fourier, obtendo (aqui T=pi ):
a0=1pi integral-pi^pi f(x) d x=integral-pi^0 0 d x+integral0^pi 1 d x=1 an=1pi f(x) cos (n pi xpi) d x=1pi integral0^pi cos (n x) d x=0 bn=1pi integral-pi^pi f(x) sen(n pi xpi) d x=1pi integral sen(n x) d x=1n pi cos (n x)|0 ^pi=1n pi(1-cos (n pi))
Dai,
-se n é par, cos (n pi)=1, donde bn=0. E se n é ímpar, cos (n pi)=-1 e bn=2n pi. Disto, a série de Fourier de f é dada por
12+sumn=1^infty 2(2 n-1) pi sen((2 n-1) x)
Como f(x) não é contínua em m pi, para m in Z, temos:
  • Para x neq m pi, m in Z
12+sumn=1^infty 2(2 n-1) pi sen((2 n-1) x)=f(x)
  • Para x=m pi, temos
12+sumn=1^infty 2(2 n-1) pi sen((2 n-1) x)=lim t x^+ f(t)+lim t x^- f(t)2=12

Expansão a meia escala

É usada para estender uma função f definida em um intervalo aberto finito à uma função definida em R periódica, de tal modo que seja possível definir uma série de Fourier para f. Vajamos duas extensões possíveis:
Dada f(x) definida no intervalo [0, T[,
a) a função
g(x)=cc f(x), 0 <= x<T f(-x), & -T <= x<0
com g(x+2 T)=g(x) é uma expansão de f à uma função par, que origina a série de Fourier de cossenos de f
a02+sumn=1^infty an cos (n pi xT)(0 <= x<T)
com a0=2T integral0^T f(x) d x, an=2T integral0^T f(x) cos (n pi xT)(n >= 1);
b) a função
h(x)=cc f(x), & 0 <= x<T -f(-x), & -T <= x<0
com h(x+2 T)=h(x) é uma expansão de f à uma função ímpar que origina a série de Fourier de senos de f
sumn=1^infty bn sen(n pi xT)(0 <= x<T)
com bn=2T integral0^T f(x) sen(n pi xT) d x.
Exemplo: Considere a função f(x)=sen(x), 0 <= x<pi. Sua expansão par é a função
g(x)=cc sen(x), & 0 <= x<pi sen(-x), & -pi <= x<0
com g(x+2 pi)=g(x) nos dará a série de Fourier em cossenos cujos escalares serão
a0=2pi integral0^pi sen(x) d x=[-2pi cos (x)]0^pi=4pi
e para n >= 1
an=2pi integral0^pi sen(x) cos (n pi xpi) d x=1pi integral0^pi[sen((n+1) x)+sen((1-n) x)] d x =-1pi[cos ((n+1) x)n+1+cos ((1-n) x)1-n]0^pi= =-1pi[cos ((n+1) pi)n+1+cos ((1-n) pi)1-n-1n+1-11-n]
Isto para n neq 1 (faça o caso n=1 ). Neste caso, para n par, n+1 e 1-n é ímpar, donde cos ((n+1) pi)=-1=cos ((1-n) pi), e cos ((n+1) pi)n+1+cos ((1-n) pi)1-n-1n+1-11-n=-1n+1-11-n-1n+1-11-n= -4n^2-1.
Já para n ímpar, n+1 e 1-n é par, donde cos ((n+1) pi)=1=cos ((1-n) pi), e portanto o valor da integral será igual a 0 .
Sendo assim, temos
f(x)=2pi-4pi sumn=1^infty 1(2 n^2)-1 cos (2 n x)(0 <= x<pi)

Passo 1

O problema pede a série de Fourier em cossenos (expansão a meia-onda par) de f(x)=sen(x) no intervalo 0<= x<pi.
Conteúdo: série de Fourier de cossenos. Vamos calcular
a0=2piintegral0^pif(x),dx, an=2piintegral0^pif(x)cosl(npi xpir),dx =2piintegral0^pisen(x)cos(nx),dx

Passo 2

Cálculo de a0:
a0=2piintegral0^pisen(x),dx =2pil[-cos(x)r]0^pi =2pil[(-cospi)-(-cos0)r] =2pil[(-(-1))-( -1)r] =4pi

Passo 3

Integral geral para
Usamos produto-soma ou integra\c{c}~{a}o por partes. O resultado \u00e9
par},\[6pt] 0,&[n) \u00edmpar. \end{cases}]
Logo
par},\[6pt] 0,& \u00edmpar. \end{cases}]
]

Passo 4

Reescrevendo só com índices pares, tome n=2k, k>=1. Então
a2k=-4pi,l((2k)^2-1r) =-4pi,(4k^2-1),
e todos os a2k-1=0.

Passo 5

Montando a série de cossenos para 0<= x<pi:
f(x) =a02+sumn=1^inftyancos(nx) =2/pi2 +sumk=1^inftyl(-4pi,(4k^2-1)r)cos(2k,x)
Simplificando:
f(x) =1pi;2 -4pisumk=1^inftycos(2k,x)4k^2-1 =2pi -4pisumk=1^inftycos(2k,x)4k^2-1

Resposta

boxed sen(x) =2pi -4pisumk=1^inftycos(2k,x)4k^2-1, 0<= x<pi
Esta igualdade vale ponto a ponto no intervalo aberto; nos extremos x=0,pi a série converge ao valor médio dos saltos, mas como f é contínua aí, coincide também com sen(x).

Exercícios relacionados