(6 pontos) Resolva o problema de valor inicial:
d yd x=4^2 x-y, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
dydx = 4^2x - y, y(0)=1
O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis. Para resolver, vamos isolar y de um lado e x do outro, integrar e usar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevemos a equação de modo a separar y e x. Note que
4^2x - y = 4^2x,4^-y,
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dydx = 4^2x,4^-y Longrightarrow 4^y,dydx = 4^2x Longrightarrow 4^y,dy = 4^2x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral 4^y,dy = integral 4^2x,dx
Usamos integral a^u,du = a^uln a. Assim,
integral 4^y,dy = 4^yln 4, integral 4^2x,dx = integral e^2xln4,dx = e^2xln42ln4 = 4^2x2ln4
Logo a igualdade integra para
4^yln4 = 4^2x2ln4 + C

Passo 4

Multiplicamos por ln4 e definimos C1 = Cln4, obtendo
4^y = 4^2x2 + C1
Usamos y(0)=1: quando x=0, 4^y=4^1=4, e 4^2cdot0/2 = 1/2. Então
4 = tfrac12 + C1 Longrightarrow C1 = 4 - tfrac12 = tfrac72
Portanto
4^y = 4^2x2 + 72 = 4^2x + 72

Passo 5

Isolando y, tomamos logaritmo na base 4:
y = log4!l(4^2x + 72r)

Resposta

y(x) = log4!l(4^2x + 72r)

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