(6 pontos) Seja a equação diferencial com valor inicial:
x^2 y^prime=y^2+x y, y(1)=2
(a) Prove que a equação é homogênea.
(b) Encontre sua solução geral e a solução particular com a condição dada.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x^2y' = y^2 + x,y, y(1)=2
e pede:
a) mostrar que ela é homogênea;
b) encontrar a solução geral e a solução particular que satisfaz y(1)=2.
O conteúdo aqui é resolução de EDO homogênea usando a mudança de variável y=v x.

Passo 2

Para provar que a equação é homogênea, divido ambos os lados por x^2 (supondo xneq0) e observo que o lado direito depende só de y/x:
y' = y^2x^2 + yx = l(yxr)^2 + yx
Como y'=Phi(y/x), a equação é homogênea de grau zero.

Passo 3

Faço a substituição usual para EDO homogênea,
y = v,x Longrightarrow y' = v + xdvdx
Substituindo em x^2y' = y^2+x,y e dividindo por x^2, vem
v + xdvdx = v^2 + v Longrightarrow xdvdx = v^2

Passo 4

A equação em v e x é separável:
dvv^2 = dxx
Integro ambos os lados:
integral dvv^2 = integral dxx Longrightarrow -1v = lnlvert xrvert + C

Passo 5

Isolo v:
1v = -lnlvert xrvert + C1, v = 1C1 - lnlvert xrvert
Como y=v x, a solução geral fica
y = xC1 - lnlvert xrvert

Passo 6

Para a solução particular uso y(1)=2. Em x=1 vale lnlvert1rvert=0 e y/x=v v(1)=2, logo
1v(1) = 12 = -ln1 + C1 = C1 ;Longrightarrow; C1 = tfrac12
Substituindo em y, obtenho
y = xtfrac12 - lnlvert xrvert = 2x1 - 2lnlvert xrvert
Para x>0 isso simplifica para
boxedy = 2x1 - 2ln x

Resposta

Solução geral:
y = xC1 - lnlvert xrvert
Solução particular com y(1)=2:
y = 2x1 - 2ln x

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