(6 pontos) Seja a equação diferencial com valor inicial:
(a) Prove que a equação é homogênea.
(b) Encontre sua solução geral e a solução particular com a condição dada.
(b) Encontre sua solução geral e a solução particular com a condição dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede:
a) mostrar que ela é homogênea;
b) encontrar a solução geral e a solução particular que satisfaz .
O conteúdo aqui é resolução de EDO homogênea usando a mudança de variável .
a) mostrar que ela é homogênea;
b) encontrar a solução geral e a solução particular que satisfaz
O conteúdo aqui é resolução de EDO homogênea usando a mudança de variável
Passo 2
Para provar que a equação é homogênea, divido ambos os lados por
(supondo
) e observo que o lado direito depende só de
:
Como
, a equação é homogênea de grau zero.
Passo 3
Faço a substituição usual para EDO homogênea,
Substituindo em
e dividindo por
, vem
Passo 4
A equação em
e
é separável:
Integro ambos os lados:
Passo 5
Isolo
:
Como
, a solução geral fica
Passo 6
Para a solução particular uso
. Em
vale
e
dá
, logo
Substituindo em
, obtenho
Para
isso simplifica para
Resposta
Solução geral:
Solução particular com
: