( 2,0 pts ) Estude a convergência ou divergência de cada sequência:
(-1)^n+1 1n^2

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício! A gente precisa verificar se a sequência (-1)^n+1 1n^2 converge ou diverge. Isso envolve entender o que significa uma sequência convergir ou divergir e usar alguns conceitos básicos de séries matemáticas para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se, à medida que n aumenta, os termos da sequência se aproximam de um certo número, chamado de limite. Se os termos não se aproximam de nenhum número fixo, dizemos que a sequência diverge.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a nossa sequência: (-1)^n+1 1n^2. Aqui, temos dois componentes:
  1. (-1)^n+1: Esse termo alterna o sinal da sequência a cada termo. Ou seja, se n é ímpar, o termo será positivo, e se n for par, será negativo.
  2. 1n^2: Esse termo diminui à medida que n aumenta, já que n^2 cresce bastante.

Passo 4

Para verificar a convergência, vamos ver o que acontece com 1n^2 quando n tende ao infinito. Sabemos que limn to infty 1n^2 = 0. Isso quer dizer que a parte que diminui da sequência está indo para zero.

Passo 5

Agora, considerando o (-1)^n+1, mesmo que o sinal esteja alternando, o fato de 1n^2 estar indo para zero significa que os termos da sequência estão se aproximando de zero, independente do sinal.

Passo 6

Então, combinando as duas partes, temos que a sequência (-1)^n+1 1n^2 está se aproximando de zero à medida que n aumenta, mesmo que os sinais estejam alternando.

Resposta

A sequência (-1)^n+1 1n^2 converge para 0.

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