(
) Estude a convergência ou divergência de cada sequência:
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício! A gente precisa verificar se a sequência
converge ou diverge. Isso envolve entender o que significa uma sequência convergir ou divergir e usar alguns conceitos básicos de séries matemáticas para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se, à medida que
aumenta, os termos da sequência se aproximam de um certo número, chamado de limite. Se os termos não se aproximam de nenhum número fixo, dizemos que a sequência diverge.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a nossa sequência:
. Aqui, temos dois componentes:
-
: Esse termo alterna o sinal da sequência a cada termo. Ou seja, se é ímpar, o termo será positivo, e se for par, será negativo. -
: Esse termo diminui à medida que aumenta, já que cresce bastante.
Passo 4
Para verificar a convergência, vamos ver o que acontece com
quando
tende ao infinito. Sabemos que
. Isso quer dizer que a parte que diminui da sequência está indo para zero.
Passo 5
Agora, considerando o
, mesmo que o sinal esteja alternando, o fato de
estar indo para zero significa que os termos da sequência estão se aproximando de zero, independente do sinal.
Passo 6
Então, combinando as duas partes, temos que a sequência
está se aproximando de zero à medida que
aumenta, mesmo que os sinais estejam alternando.
Resposta
A sequência
converge para 0.