Estude a convergência ou divergência de cada série e especifique o teste utilizado:
sumn=1^infty 2^2 n 5^1-n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty2^2n5^1-n.
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma série geométrica e aplicar o teste da série geométrica.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral
an = 2^2n5^1-n
de modo a evidenciar a forma geométrica. Note que
2^2n = 4^n e 5^1-n = 55^n,
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an = 4^ncdot55^n = 5l(45r)^n

Passo 3

Isso mostra que estamos diante de uma série geométrica com primeira parcela
a1 = 5l(tfrac45r)^1 = 4
e razão
r = 45

Passo 4

Pelo teste da série geométrica, se lvert rrvert<1 a série converge. Aqui
llvert rrrvert = 45<1,
portanto a série converge.

Passo 5

Opcionalmente, o valor da soma é
sumn=1^inftyan = a11-r = 41 - tfrac45 = 20

Resposta

A série converge pelo teste da série geométrica (razão r = tfrac45).

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