Estude a convergência/divergência da sequência: a_{n}=\operatorname{sen}(1 / n)
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência \;a_{n}=\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)\; e pede para estudarmos sua convergência ou divergência, isto é: determinar se existe \lim_{n\to\infty} a_{n} e, em caso afirmativo, qual é esse limite. Informações dadas/visíveis: para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 1, o termo \dfrac{1}{n} é um número positivo que tende a 0 quando n\to\infty.
Observação útil sobre os sinais e valores: para todo n\ge 1 temos \dfrac{1}{n}>0. Assim os argumentos da função seno aqui são números positivos que ficam cada vez menores (tendem a zero). Logo os termos a_n=\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right) são positivos para n grande o suficiente (na verdade para todo n\ge1 já que \sin(x)>0 para 0<x<\pi e \dfrac{1}{n}<\pi).
Passo 2
Vamos usar uma desigualdade padrão que facilita muito este tipo de problema: para todo x\ge 0 vale
\sin x \le x.
Explicação dessa desigualdade (didática): defina f(x)=x-\sin x. Observa-se que f(0)=0 e que
f'(x)=1-\cos x.
Como \cos x\le 1 para todo x, temos f'(x)\ge 0, isto é, f é não decrescente. Portanto, para x\ge 0 temos f(x)\ge f(0)=0, ou seja x-\sin x\ge0, o que dá \sin x\le x. Essa é uma prova simples usando derivada; geometricamente também se costuma justificar comparando arco e seno no círculo unitário.
Passo 3
Aplicando a desigualdade do passo anterior com x=\dfrac{1}{n}\ge0, obtemos
0<\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)\le \dfrac{1}{n}\qquad\text{para todo }n\ge1.
Aqui usamos que \sin(1/n)>0 pois 1/n\in(0,\pi). Assim os termos a_n ficam “espremidos” entre 0 e 1/n.
Passo 4
Mostramos agora que a sequência \dfrac{1}{n} converge para 0. Prova curta (epsilon-N): dado \varepsilon>0, escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon}. Então, para todo n\ge N temos
Aplique o teorema do sanduíche (teorema do confronto / squeeze theorem): se para todo n vale 0\le a_n \le b_n e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então \lim_{n\to\infty} a_n = 0. No nosso caso temos 0\le \sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)\le \dfrac{1}{n} e já vimos que \dfrac{1}{n}\to 0. Portanto, por confronto,
Isto dá a mesma resposta e é uma forma prática de pensar em provas rápidas na prova.
Passo 7
Pequena checagem numérica para dar confiança: a_1=\sin(1)\approx 0{,}8415, a_{10}=\sin(0{,}1)\approx 0{,}0998, a_{100}=\sin(0{,}01)\approx 0{,}0099998. Repare que os termos vão ficando muito pequenos e aproximando de 0.
Resposta
A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.