Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.
sumn=2^infty raiznn^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício juntos! A gente precisa estudar se a série sumn=2^infty raiznn^2 converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries numéricas, especificamente o teste da p-série, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de análise.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Temos:
raiznn^2 = n^1/2n^2 = n^1/2 - 2 = n^-3/2
Então, a série fica:
sumn=2^infty n^-3/2

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma p-série. Uma p-série é uma série da forma sumn=1^infty 1n^p, onde p é um número real. O teste da p-série nos diz que:
  • Se p > 1, a série converge.
  • Se p <= 1, a série diverge.

Passo 4

No nosso caso, a série ficou sumn=2^infty n^-3/2. Aqui, podemos ver que o expoente de n é -3/2, o que nos dá p = 3/2.

Passo 5

Aplicando o teste da p-série:
  • p = 3/2
  • Como 3/2 > 1, de acordo com o teste, a série converge.

Resposta

Portanto, a série sumn=2^infty raiznn^2 converge.

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