Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar se a série
converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de testes de convergência de séries. Para resolver, vamos usar o Teste da Comparação, que é uma forma de comparar a série em questão com outra série que a gente já sabe se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é
. A gente percebe que
cresce muito rápido conforme
aumenta, muito mais rápido do que o 2 que está sendo subtraído. Então, para valores grandes de
, o termo
se torna quase irrelevante, e
se comporta de forma semelhante a
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em uma série com a qual possamos comparar. Sabemos que a série geométrica
é convergente porque a razão
é menor que 1. Então, vamos usar essa série para comparar com a nossa série original.
Passo 4
Segundo o Teste da Comparação, se todos os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos de uma série convergente, então a nossa série também converge. Vamos verificar:
Como
é apenas uma constante multiplicando
, que sabemos que converge, então pela comparação, nossa série
também converge.
Resposta
A série
converge.