Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.
sumn=1^infty 15^n-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar se a série sumn=1^infty 15^n-2 converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de testes de convergência de séries. Para resolver, vamos usar o Teste da Comparação, que é uma forma de comparar a série em questão com outra série que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é 15^n-2. A gente percebe que 5^n cresce muito rápido conforme n aumenta, muito mais rápido do que o 2 que está sendo subtraído. Então, para valores grandes de n, o termo -2 se torna quase irrelevante, e 15^n-2 se comporta de forma semelhante a 15^n.

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma série com a qual possamos comparar. Sabemos que a série geométrica sumn=1^infty 15^n é convergente porque a razão r = 15 é menor que 1. Então, vamos usar essa série para comparar com a nossa série original.

Passo 4

Segundo o Teste da Comparação, se todos os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos de uma série convergente, então a nossa série também converge. Vamos verificar:
15^n-2 < 15^n-5^n/2 = 1(1 - 12)5^n = 25^n
Como 25^n é apenas uma constante multiplicando 15^n, que sabemos que converge, então pela comparação, nossa série sumn=1^infty 15^n-2 também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 15^n-2 converge.

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