Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.
sumn=1^infty (-1)^nraiz[4]n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar se a série sumn=1^infty (-1)^nraiz[4]n converge ou diverge. Isso envolve entender sobre séries alternadas e usar alguns testes de convergência. Vamos precisar conhecer o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série alternada porque o termo (-1)^n faz com que os sinais dos termos mudem de positivo para negativo e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada da forma sum (-1)^n an converge se:
  1. Os termos an são positivos.
  2. an está diminuindo.
  3. an tende a zero quando n tende ao infinito.
No nosso caso, an = 1raiz[4]n = 1n^1/4 . Vamos verificar os três pontos:
  1. Positivos: 1n^1/4 é positivo para todo n .
  2. Decrescentes: À medida que n aumenta, 1n^1/4 diminui.
  3. Tendem a zero: limn to infty 1n^1/4 = 0 .
Então, a série passa no Teste da Série Alternada e converge.

Passo 4

Mas calma aí! Só para ter certeza, vamos ver se a série também converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos: sumn=1^infty 1n^1/4 .
Aqui entra o Teste da Série p, que diz que sum 1n^p converge se p > 1 e diverge se p <= 1 . No nosso caso, p = 14 , que é menor que 1. Então, a série dos valores absolutos diverge.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^infty (-1)^nraiz[4]n converge condicionalmente.

Exercícios relacionados