Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar se a série
converge ou diverge. Isso envolve entender sobre séries alternadas e usar alguns testes de convergência. Vamos precisar conhecer o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série alternada porque o termo
faz com que os sinais dos termos mudem de positivo para negativo e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. -
está diminuindo. -
tende a zero quando tende ao infinito.
No nosso caso,
. Vamos verificar os três pontos:
- Positivos:
é positivo para todo . - Decrescentes: À medida que
aumenta, diminui. - Tendem a zero:
.
Então, a série passa no Teste da Série Alternada e converge.
Passo 4
Mas calma aí! Só para ter certeza, vamos ver se a série também converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
.
Aqui entra o Teste da Série p, que diz que
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1. Então, a série dos valores absolutos diverge.
Resposta
Portanto, a série
converge condicionalmente.