Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{n{k-1}}{n{k}+1} onde k \in \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{k-1}}{n^{k}+1},
onde k\in\mathbb{Z}. Vamos usar dois métodos clássicos: o teste da comparação assintótica (limit comparison) com séries-p e com a harmônica.

Passo 2

Considere primeiro k>0. Para n grande temos n^k\gg1, então
\frac{n^{k-1}}{n^k+1}\sim \frac{n^{k-1}}{n^k}=\frac1n.
Aplicando o teste da comparação assintótica com a série harmônica \sum1/n, calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{k-1}}{n^k+1}}{\frac1n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{\,n^k+1\,}=1\neq0,
logo a série diverge, pois se comporta como \sum1/n.

Passo 3

Para k=0 temos
\frac{n^{k-1}}{n^k+1}=\frac{n^{-1}}{1+1}=\frac1{2n},
que é um múltiplo da harmônica e, portanto, também diverge.

Passo 4

Agora considere k<0. Seja k=-m com m\in\mathbb{N}. Para n grande n^k=n^{-m}\to0, então
\frac{n^{k-1}}{n^k+1}\sim n^{k-1}=n^{-m-1}.
Como \sum n^{-m-1} é série-p com expoente m+1>1, ela converge. O teste da comparação assintótica confirma isso:
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{k-1}}{n^k+1}}{n^{-m-1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{-m-1}}{n^k+1}\big/\!n^{-m-1} =\lim_{n\to\infty}\frac1{n^k+1}=1.

Passo 5

Resumo dos resultados obtidos:
  • Para k\ge0 a série se comporta como \sum1/n e diverge.
  • Para k<0 a série se comporta como \sum n^{-m-1} com m+1>1 e converge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{k-1}}{n^{k}+1}
converge se e somente se k<0 e diverge para k\ge0.

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