Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{n{k-1}}{n{k}+1} onde
\sum \frac{n{k-1}}{n{k}+1} onde
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
onde
. Vamos usar dois métodos clássicos: o teste da comparação assintótica (limit comparison) com séries-p e com a harmônica.
Passo 2
Considere primeiro
. Para
grande temos
, então
Aplicando o teste da comparação assintótica com a série harmônica
, calculamos
logo a série diverge, pois se comporta como
.
Passo 3
Para
temos
que é um múltiplo da harmônica e, portanto, também diverge.
Passo 4
Agora considere
. Seja
com
. Para
grande
, então
Como
é série-p com expoente
, ela converge. O teste da comparação assintótica confirma isso:
Passo 5
Resumo dos resultados obtidos:
- Para
a série se comporta como e diverge. - Para
a série se comporta como com e converge.
Resposta
A série
converge se e somente se
e diverge para
.