Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)^{n}.
O conteúdo aqui é séries numéricas, em especial séries geométricas e o critério da razão.

Passo 2

Observamos que o termo geral é
a_{n} = \Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)^{n}.
Portanto trata-se de uma série geométrica com razão
r = \tfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Uma série geométrica \sum r^{n} converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1.
Aqui temos
\bigl\lvert\tfrac{\pi}{4}\bigr\rvert < 1
pois \pi \approx 3,14 e 3,14<4. Logo a série converge absolutamente.

Passo 4

Para obter a soma usamos a fórmula da série geométrica de primeiro termo a_{1}=\tfrac{\pi}{4} e razão r=\tfrac{\pi}{4}:
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)^{n} = \frac{a_{1}}{1-r} = \frac{\tfrac{\pi}{4}}{1-\tfrac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4-\pi}.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)^{n} = \frac{\pi}{4-\pi}.

Exercícios relacionados