Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{3+\sqrt{n+1}}{\sqrt[3]{n^{5}+n-3}}
\sum \frac{3+\sqrt{n+1}}{\sqrt[3]{n^{5}+n-3}}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos, e o método mais direto é o teste de comparação limite com uma
-série.
Passo 2
Para comparar com uma
-série, examinamos o comportamento assintótico de
quando
. Note que
-
, -
, logo
Passo 3
Dessa forma
Isto mostra que
comporta-se como os termos de uma
-série com
.
Passo 4
Aplique o teste da comparação limite com
que sabemos convergir pois
. Calcule
Dividindo numerador e denominador pelas suas potências principais chega-se a
Passo 5
Como
converge e
, o teste de comparação limite garante que
também converge.
Resposta
A série
converge, pelo teste de comparação limite com a
-série
.