Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{3+\sqrt{n+1}}{\sqrt[3]{n^{5}+n-3}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \quad\text{com}\quad a_{n} = \frac{3 + \sqrt{n+1}}{\sqrt[3]{n^{5} + n - 3}}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos, e o método mais direto é o teste de comparação limite com uma p-série.

Passo 2

Para comparar com uma p-série, examinamos o comportamento assintótico de a_{n} quando n\to\infty. Note que
  1. \sqrt{n+1}\sim n^{1/2},
  2. n^{5}+n-3\sim n^{5}, logo
\sqrt[3]{n^{5}+n-3}\sim (n^{5})^{1/3}=n^{5/3}.

Passo 3

Dessa forma
a_{n} \sim \frac{n^{1/2}}{n^{5/3}} = n^{1/2 - 5/3} = n^{-7/6}.
Isto mostra que a_{n} comporta-se como os termos de uma p-série com p=7/6.

Passo 4

Aplique o teste da comparação limite com
b_{n} = \frac{1}{n^{7/6}},
que sabemos convergir pois 7/6>1. Calcule
L =\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty} \frac{3 + \sqrt{n+1}}{\sqrt[3]{n^{5}+n-3}} \;\Bigl/\;\frac{1}{n^{7/6}} =\lim_{n\to\infty} \frac{(3+\sqrt{n+1})\,n^{7/6}}{\sqrt[3]{n^{5}+n-3}}.
Dividindo numerador e denominador pelas suas potências principais chega-se a
L=1\quad\text{(constante finita e não nula).}ã

Passo 5

Como \sum b_{n}=\sum 1/n^{7/6} converge e 0<L<\infty, o teste de comparação limite garante que
\sum a_{n} também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+\sqrt{n+1}}{\sqrt[3]{n^{5}+n-3}} converge, pelo teste de comparação limite com a p-série p=7/6>1.

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