Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{2}{3^{n}-5}

Passo 1

O objetivo é estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^{n} - 5}.
O método que vamos usar é o teste da razão (ou teste de D’Alembert), pois basta verificar o limite da razão entre termos consecutivos para decidir a convergência.

Passo 2

Seja
a_{n} = \frac{2}{3^{n}-5}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2}{3^{n+1}-5}}{\frac{2}{3^{n}-5}} = \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n}-5}{3^{n+1}-5} = \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n}(1 - 5/3^{n})}{3^{n}(3 - 5/3^{n})} = \frac{1}{3}.

Passo 3

Como L = \tfrac{1}{3} < 1, o teste da razão conclui que a série \sum a_n converge absolutamente. Séries de termos positivos que convergem absolutamente, convergem.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).

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