Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \tan \left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \tan\bigl(1/n\bigr).
O conteúdo envolve séries de termos positivos e testes de comparação. Vamos usar a desigualdade \tan(x)>x para x\in(0,\pi/2) e o teste da comparação direta com a série harmônica.

Passo 2

Para n\ge1 temos 1/n\in(0,\pi/2). Nesse intervalo, a função \tan(x) é crescente e satisfaz
\tan(x)>x.
Substituindo x=1/n, obtemos para todo n:
\tan\bigl(1/n\bigr)>1/n.

Passo 3

Comparando séries de termos positivos: como
\tan\bigl(1/n\bigr)>1/n
e sabemos que
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}
é divergente (série harmônica), pelo teste da comparação direta segue que
\sum_{n=1}^\infty \tan\bigl(1/n\bigr)
também diverge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \tan\bigl(1/n\bigr) diverge.

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