Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{3+n}{\mathrm{e}^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3+n}{e^{2n}}.
O conteúdo envolve testes de convergência para séries de termos positivos. Vamos usar o Teste da Razão para determinar se a série converge.

Passo 2

Recordando o Teste da Razão: para uma série \sum a_n com a_n>0, definimos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui fazemos
a_n = \frac{n+3}{e^{2n}},
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\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)+3}{e^{2(n+1)}}}{\frac{n+3}{e^{2n}}} = \frac{n+4}{n+3}\,\frac{e^{2n}}{e^{2n+2}} = \frac{n+4}{n+3}\,e^{-2}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{n+4}{n+3}\,e^{-2} = 1\cdot e^{-2} = e^{-2}.
Como e^{-2}<1, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente, pois pelo Teste da Razão obtivemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{-2}<1.

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