Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\bigl(\tfrac{n+1}{n}\bigr).
O método mais direto aqui é usar o caráter telescópico da soma após escrever cada termo como diferença de logaritmos.

Passo 2

Usando a propriedade do logaritmo
\ln\!\bigl(\tfrac{n+1}{n}\bigr) =\ln(n+1)-\ln(n),
o somatório parcial até N fica
S_{N} =\sum_{n=1}^{N}\ln\!\bigl(\tfrac{n+1}{n}\bigr) =\sum_{n=1}^{N}\bigl[\ln(n+1)-\ln(n)\bigr].
Esse somatório telescopa, pois cada \ln(n) cancela com o -\ln(n) do termo seguinte, restando
S_{N}=\ln(N+1)-\ln(1)=\ln(N+1).
Como
\displaystyle \lim_{N\to\infty}S_{N}=\lim_{N\to\infty}\ln(N+1)=+\infty,
concluímos que a série não converge.

Resposta

A série diverge (os somatórios parciais crescem sem limite).

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