Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{n+1}{2 n+3}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{2\,n+3}.
O conteúdo principal aqui é o teste da soma dos termos (ou teste do termo geral): se \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, a série \sum a_n diverge.

Passo 2

Vamos calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2\,n+3}.
Escrevendo
\frac{n+1}{2\,n+3} =\frac{n\bigl(1+\tfrac1n\bigr)}{n\bigl(2+\tfrac3n\bigr)} =\frac{1+\tfrac1n}{2+\tfrac3n},
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\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2\,n+3} =\frac{1+0}{2+0} =\tfrac12\neq0.

Passo 3

Como o termo geral não tende a zero, o teste do termo geral garante que a série diverge. Isto é, não há como acumular infinitos termos cujo limite não seja zero.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{2\,n+3} diverge.

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