Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{1}{2 \sqrt{n}+\sqrt{n+2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}.
O conteúdo aqui é análise de séries numéricas e vamos usar o teste de comparação (mais precisamente o teste da comparação em limite) com uma p-série.

Passo 2

Observamos o comportamento de a_n = \frac{1}{2\sqrt{n}+\sqrt{n+2}} para n grande. Note que
\sqrt{n+2} = \sqrt{n}\,\sqrt{1+\tfrac{2}{n}} \sim \sqrt{n}\quad(n\to\infty),
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2\sqrt{n}+\sqrt{n+2}\sim 3\sqrt{n}.
Isso sugere que
a_n \sim \frac{1}{3\sqrt{n}}
e, como \sum 1/\sqrt{n} é uma p-série com p=\tfrac12<1, essa p-série diverge.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação em limite tomando b_n = 1/\sqrt{n}. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}+\sqrt{n+2}} = \frac{1}{2+\sqrt{1+2/n}} = \frac{1}{3}.
Como 0< L<\infty, a série \sum a_n diverge ou converge junto com \sum b_n. Mas \sum b_n=\sum 1/\sqrt{n} diverge.

Passo 4

Pelo teste de comparação em limite, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2\sqrt{n}+\sqrt{n+2}} diverge.

Resposta

A série diverge.

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