Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{\arctan (n)}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan(n)}{n^{2}+1}.
O conteúdo usado será o teste da comparação (ou comparação-limite) com séries do tipo \sum1/n^{p}.

Passo 2

Observamos que, para todo n\ge1,
0<\arctan(n)<\frac{\pi}{2}.
Logo,
0<\frac{\arctan(n)}{n^{2}+1}<\frac{\pi/2}{n^{2}+1}.

Passo 3

Como n^{2}+1>n^{2}, temos
\frac{\pi/2}{n^{2}+1}<\frac{\pi/2}{n^{2}}.
Portanto
0<\frac{\arctan(n)}{n^{2}+1}<\frac{\pi}{2}\,\frac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é convergente (é uma p-série com p=2>1). Pelo teste da comparação com
\dfrac{\pi}{2}\sum1/n^{2}, concluímos que
\sum\arctan(n)/(n^{2}+1) converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente (e, logo, converge) pelo teste da comparação com a p-série de p=2.

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