Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{n}{n^{4}+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{4}+1}.
Aqui o conteúdo é teoria de séries numéricas com termos positivos. Vamos usar o critério de comparação com uma p-série, visto que para grandes n o termo geral se comporta como 1/n^{3}.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{n}{n^{4}+1}.
Para todo n\ge1 vale
n^{4}+1 \ge n^{4} \quad\Longrightarrow\quad 0 \le a_{n} = \frac{n}{n^{4}+1} \le \frac{n}{n^{4}} = \frac{1}{n^{3}}.

Passo 3

Sabemos que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=3>1, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}
é convergente.

Passo 4

Pelo critério da comparação (séries de termos não negativos), como
0 \le a_{n} \le \frac{1}{n^{3}}
e \sum 1/n^{3} converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{4}+1}
também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{4}+1} converge pelo critério de comparação com a p-série de p=3.

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