Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)
\sum\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo aqui é séries telescópicas, ou seja, somas em que muitos termos internos se cancelam.
Passo 2
Definimos a soma parcial
Para estudar a convergência, vamos escrever explicitamente os primeiros termos e ver os cancelamentos.
Passo 3
Expandindo
:
Note que todos os termos
aparecem uma vez com sinal
e uma vez com sinal –, e portanto se cancelam. Sobram apenas
Passo 4
Reescrevendo,
Como
, segue que
Logo a série converge.
Resposta
A série converge por ser telescópica, e