Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\Bigr).
O conteúdo aqui é séries telescópicas, ou seja, somas em que muitos termos internos se cancelam.

Passo 2

Definimos a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\Bigr).
Para estudar a convergência, vamos escrever explicitamente os primeiros termos e ver os cancelamentos.

Passo 3

Expandindo S_{N}:
S_{N}=(\tfrac{1}{1}-\tfrac{1}{3})+(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4})+(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5})+\cdots+(\tfrac{1}{N}-\tfrac{1}{N+2}).
Note que todos os termos \tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4},\dots,\tfrac{1}{N} aparecem uma vez com sinal + e uma vez com sinal –, e portanto se cancelam. Sobram apenas
S_{N}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}.

Passo 4

Reescrevendo,
S_{N}=\frac{3}{2}-\Bigl(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\Bigr).
Como \lim_{N\to\infty}\bigl(\tfrac{1}{N+1}+\tfrac{1}{N+2}\bigr)=0, segue que
\lim_{N\to\infty}S_{N}=\frac{3}{2}.
Logo a série converge.

Resposta

A série converge por ser telescópica, e
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\Bigr)=\frac{3}{2}.

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