Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{3}{\ln \left(n^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{3}{\ln\bigl(n^{2}\bigr)}.
O conteúdo utilizado será o Teste da Integral (também chamado de teste de Cauchy ou teste de maclaurin) para séries de termos positivos, pois temos uma função decrescente que se presta bem a esse método.

Passo 2

Simplificamos o termo genérico usando \ln(n^{2}) = 2\ln n. Assim, para n\ge2,
a_{n} = \frac{3}{\ln\bigl(n^{2}\bigr)} = \frac{3}{2\,\ln n} = \frac{3}{2}\,\frac{1}{\ln n}.

Passo 3

Verificamos que a_{n} é positivo e, a partir de certo n, é decrescente, pois \ln n cresce com n. Logo, podemos aplicar o Teste da Integral estudando
\int_{2}^{\infty} \frac{3}{2\,\ln x}\,dx = \frac{3}{2}\,\int_{2}^{\infty} \frac{1}{\ln x}\,dx.

Passo 4

Sabemos que a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{\ln x}\,dx
é divergente, pois é o conhecido integral logarítmico (função \mathrm{li}(x)), que cresce sem limite quando o limite superior tende a infinito. Multiplicar por \tfrac{3}{2} não altera o fato de divergência.

Passo 5

Pelo Teste da Integral, como
\int_{2}^{\infty} \frac{3}{2\,\ln x}\,dx = \infty,
a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{3}{\ln(n^{2})}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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