Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{3}{\ln \left(n^{2}\right)}
\sum \frac{3}{\ln \left(n^{2}\right)}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
O conteúdo utilizado será o Teste da Integral (também chamado de teste de Cauchy ou teste de maclaurin) para séries de termos positivos, pois temos uma função decrescente que se presta bem a esse método.
Passo 2
Simplificamos o termo genérico usando
. Assim, para
,
Passo 3
Verificamos que
é positivo e, a partir de certo
, é decrescente, pois
cresce com
. Logo, podemos aplicar o Teste da Integral estudando
Passo 4
Sabemos que a integral imprópria
é divergente, pois é o conhecido integral logarítmico (função
), que cresce sem limite quando o limite superior tende a infinito. Multiplicar por
não altera o fato de divergência.
Passo 5
Pelo Teste da Integral, como
a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.