Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum(n+1)\left(\frac{3}{4}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{n}.
O conteúdo aqui é séries de termos positivos e usaremos o teste da razão para verificar a convergência absoluta. Em seguida, como ela convergir, aproveitamos uma soma fechada de série de potências para calcular o valor exato da soma.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = (n+1)\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{n}.
No teste da razão, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{n+1}}{(n+1)\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}\cdot\frac{3}{4}.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}=1,
segue que
L = 1\cdot\tfrac{3}{4} = \tfrac{3}{4} < 1.
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente.

Passo 4

Para calcular a soma, lembramos que, para |x|<1, vale a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n} = \frac{1}{(1-x)^{2}}.
Aqui x=\tfrac{3}{4}, logo
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{n} = \frac{1}{\bigl(1-\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}} = \frac{1}{\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}} =16.

Resposta

A série converge absolutamente e seu valor é 16.

Exercícios relacionados