Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum a_{n} onde a_{1}=2 e a_{i+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{i} com i=2,3,4, \cdots

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
onde a_{1}=2 e, para n\ge1,
a_{n+1}=\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)\,a_{n}.
Vamos primeiro encontrar a expressão explícita de a_{n} (método do produto telescópico) e depois aplicar o critério da divergência (ou critério da nulidade).

Passo 2

Temos
a_{n} =2\prod_{k=1}^{\,n-1}\Bigl(1+\frac{1}{k}\Bigr) =2\prod_{k=1}^{\,n-1}\frac{k+1}{k}.
Note que
\prod_{k=1}^{\,n-1}\frac{k+1}{k} =\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{n}{n-1} =n.
Logo, por indução ou pelo telescoping acima,
a_{n}=2n.

Passo 3

Para que a série \sum a_{n} convergisse, seria necessário ter
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Mas aqui
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}2n =+\infty\neq0.
Pelo critério da divergência (ou nulidade), como o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} diverge.

Exercícios relacionados