Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum a_{n} onde
\sum a_{n} onde
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e para todo
.
Pede-se estudar a convergência da série .
e para todo
Pede-se estudar a convergência da série
Passo 2
Vamos primeiro entender o comportamento de
. Note que
. Para
vale
. Portanto, por indução,
,
logo é positiva e estritamente crescente.
logo
Passo 3
Como
sempre que
, todos os termos satisfazem
. Assim
é uma sequência crescente e limitada superiormente por
. Logo
converge a um limite
com
. Tomando o limite na relação de recorrência,
implica
, ou seja
ou
. Mas como
e
é crescente, tem-se
. Portanto
Passo 4
Um critério necessário para a convergência de
é
Como aqui
, concluímos que a série não pode convergir.
Resposta
A série
diverge, pois os termos
não tendem a zero.