Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum a_{n} onde a_{1}=1 / 4 \mathrm{e} a_{i+1}=\sqrt{a_{i}} \mathrm{com} i=2,3,4, \cdots

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
\displaystyle a_1 = \frac{1}{4e}
e para todo n\ge1
\displaystyle a_{n+1} = \sqrt{a_n}.
Pede-se estudar a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} a_n.

Passo 2

Vamos primeiro entender o comportamento de (a_n). Note que 0<a_1<1. Para 0<x<1 vale \sqrt{x}>x. Portanto, por indução,
\displaystyle a_{n+1}=\sqrt{a_n}>a_n,
logo (a_n) é positiva e estritamente crescente.

Passo 3

Como \sqrt{x}<1 sempre que 0<x<1, todos os termos satisfazem a_n<1. Assim (a_n) é uma sequência crescente e limitada superiormente por 1. Logo (a_n) converge a um limite L com 0<L\le1. Tomando o limite na relação de recorrência,
L=\sqrt{L}
implica L^2=L, ou seja L=0 ou L=1. Mas como a_1>0 e (a_n) é crescente, tem-se L=1. Portanto
\lim_{n\to\infty}a_n = 1.

Passo 4

Um critério necessário para a convergência de \sum a_n é
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Como aqui \lim_{n\to\infty}a_n = 1 \neq 0, concluímos que a série não pode convergir.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}a_n diverge, pois os termos a_n não tendem a zero.

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