Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum a_{n} onde a_{1}=1 \mathrm{e}
a_{i+1}=\frac{a_{i}}{i} com
i=2,3,4, \cdots

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_{1}=1, \quad a_{i+1}=\frac{a_{i}}{i}\quad(i=1,2,3,\dots)
e pede para estudar a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty}a_n. Para isso vamos (1) obter o termo geral e (2) usar o critério da razão.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos e conjecturar o termo geral:
a_{1}=1,\quad a_{2}=\frac{a_{1}}{1}=1,\quad a_{3}=\frac{a_{2}}{2}=\frac{1}{2},\quad a_{4}=\frac{a_{3}}{3}=\frac{1}{6},\;\dots
Percebemos que para n\ge2 aparece o fatorial de n-1. Fazendo indução, mostra-se que
a_{n}=\frac{1}{(n-1)!} \quad(n\ge1),
pois para n=1 1/0!=1 e, se a_{n}=1/(n-1)!, então
a_{n+1}=\frac{a_{n}}{n} =\frac{1}{n\,(n-1)!} =\frac{1}{n!}.

Passo 3

Aplicamos o critério da razão às parcelas positivas a_n>0:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/n!}{1/(n-1)!} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} =0.
Como 0<1, o critério da razão garante que a série \sum a_n converge absolutamente.

Passo 4

Além de convergir, podemos reconhecer a soma:
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} =e.

Resposta

A série converge absolutamente pelo critério da razão e sua soma é e.

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