Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum a_{n} onde
com
\sum a_{n} onde
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e pede para estudar a convergência da série
. Para isso vamos (1) obter o termo geral e (2) usar o critério da razão.
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos e conjecturar o termo geral:
Percebemos que para
aparece o fatorial de
. Fazendo indução, mostra-se que
pois para
dá
e, se
, então
Passo 3
Aplicamos o critério da razão às parcelas positivas
:
Como
, o critério da razão garante que a série
converge absolutamente.
Passo 4
Além de convergir, podemos reconhecer a soma:
Resposta
A série converge absolutamente pelo critério da razão e sua soma é
.