Soma de uma série com produto de potências e uma série de fatoriais:
sumn=1^infty n^23^n+sumn=1^infty n!2^n
A soma converge ou diverge?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da soma das duas séries
sumn=1^infty n^23^n
e
sumn=1^infty n!2^n
O conteúdo principal aqui é teste da razão para séries de termos positivos: calculamos o limite
L = limntoinfty an+1an
e comparamos com 1.

Passo 2

Para a primeira série, seja an = n^23^n. Então
an+1an = (n+1)^23^,n+1n^23^n = (n+1)^23,n^2 = 13,l(n+1nr)^2
Fazendo ntoinfty, vemos que
limntoinftyan+1an = 13<1,
logo, pela conclusão do teste da razão, a primeira série converge absolutamente.

Passo 3

Para a segunda série, seja bn = n!2^n. Então
bn+1bn = (n+1)!2^,n+1n!2^n = n+12
Como
limntoinftyn+12 = +infty > 1,
o teste da razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A soma diverge, pois embora sum n^2/3^n converja, a série sum n!/2^n diverge e domina o comportamento do total.

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