Soma de uma série com produto de potências e uma série de fatoriais:
A soma converge ou diverge?
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da soma das duas séries
e
O conteúdo principal aqui é teste da razão para séries de termos positivos: calculamos o limite
e comparamos com 1.
Passo 2
Para a primeira série, seja
. Então
Fazendo
, vemos que
logo, pela conclusão do teste da razão, a primeira série converge absolutamente.
Passo 3
Para a segunda série, seja
. Então
Como
o teste da razão nos diz que a série diverge.
Resposta
A soma diverge, pois embora
converja, a série
diverge e domina o comportamento do total.