Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
sumn=1^infty 5^n^2(n !)^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty an, an = 5^n^2(n!)^2
O conteúdo aqui é teste de convergência para séries de termos positivos. Vamos usar o teste da razão, que diz que se
L = limntoinfty an+1an > 1,
então a série diverge.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 5^(n+1)^2/l((n+1)!r)^2 5^n^2/(n!)^2 = 5^(n+1)^2 - n^2,(n!)^2l((n+1)!r)^2 = 5^2n+1,1(n+1)^2
Para n grande, 5^2n+1 cresce exponencialmente muito mais rápido que (n+1)^2, logo
an+1antoinfty>1
Como a razão estaciona acima de 1 a partir de algum n, o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge (nem condicional nem absolutamente).

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