Estude a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+n^{2}}.
O conteúdo principal é séries numéricas, em especial o teste de comparação com séries p, onde sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Primeiro confirmamos a condição necessária de convergência: o termo geral
a_{n}=\frac{1}{1+n^{2}}
é positivo e
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+n^{2}}=0.
Isso evita divergência óbvia, mas não garante convergência.

Passo 3

Para aplicar o teste de comparação, notamos que, para todo n\ge1,
1+n^{2}\ge n^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1+n^{2}}\le\frac{1}{n^{2}}.
Como sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é convergente (é uma série p com p=2>1), então pela comparação direta a série original também converge.

Passo 4

Todos os termos são positivos, logo a convergência obtida é absoluta. Não há condição extra para alternância ou sinais.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+n^{2}} converge (converge absolutamente) pelo teste de comparação com a série p de p=2.

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