Obtenha uma série de potências que represente a função .
Considere a função .
(a) Encontre a série de potências para a derivada e o raio de convergência.
Passo 1
A questão pede duas coisas: (i) uma série de potências para e (ii) a série de potências da derivada quando , além do raio de convergência. Vamos usar a teoria de séries geométricas e a diferenciação termo a termo.
Passo 2
Lembrando da série geométrica: para ,
Essa é a base para chegar em .
Passo 3
Diferenciando termo a termo a série em relação a temos
Reindexando com , obtemos
Passo 4
Para , diferenciamos termo a termo (isso é válido dentro do raio de convergência). A derivada de é . Assim obtemos
Passo 5
Para determinar o raio de convergência de , aplicamos o teste da razão ao termo geral :
Para convergir precisamos de |x|^2<1, isto é |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1.
Resposta
1(1-x)^2=sumn=0^+infty(n+1)x^n; f'(x)=sumn=0^+infty(-1)^nx^2n, raio de convergência R=1.