1. Obtenha uma série de potências que represente a função g(x)=1(1-x)^2.
  2. Considere a função f(x)=sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+12 n+1.
    (a) Encontre a série de potências para a derivada f^prime e o raio de convergência.

Passo 1

A questão pede duas coisas: (i) uma série de potências para g(x)=1(1-x)^2 e (ii) a série de potências da derivada f'(x) quando f(x)=sumn=0^+infty(-1)^nx^2n+12n+1, além do raio de convergência. Vamos usar a teoria de séries geométricas e a diferenciação termo a termo.

Passo 2

Lembrando da série geométrica: para |x|<1,
11-x=sumn=0^+inftyx^n
Essa é a base para chegar em 1(1-x)^2.

Passo 3

Diferenciando termo a termo a série sumn=0^+inftyx^n em relação a x temos
sumn=1^+inftyn,x^n-1=1(1-x)^2
Reindexando com k=n-1, obtemos
sumk=0^+infty(k+1)x^k=1(1-x)^2

Passo 4

Para f(x)=sumn=0^+infty(-1)^nx^2n+12n+1, diferenciamos termo a termo (isso é válido dentro do raio de convergência). A derivada de x^2n+12n+1 é x^2n. Assim obtemos
f'(x)=sumn=0^+infty(-1)^nx^2n

Passo 5

Para determinar o raio de convergência de f'(x), aplicamos o teste da razão ao termo geral bn =(-1)^n x^2n:
limntoinfty|bn+1bn|=|x|^2
Para convergir precisamos de |x|^2<1, isto é |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1.

Resposta

1(1-x)^2=sumn=0^+infty(n+1)x^n; f'(x)=sumn=0^+infty(-1)^nx^2n, raio de convergência R=1.

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